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Espace complet/de Banach

Définition : On dit qu'un espace métrique (X,d) est complet si toute suite de Cauchy de X est convergente. Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach.

Par exemple, (R,|.|), (C,|.|) sont complets. Plus généralement, un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach. En revanche, l'espace vectoriel E des fonctions continues sur [0,1] munies de la norme suivante :
n'est pas un espace de Banach.

  La complétude est une notion très importante pour construire des objets par des phénomènes limites. Ainsi, les espaces métriques vérifient les 3 propriétés très importantes suivantes :
  • Toute série absolument convergente y est convergente.
  • Le théorème du point fixe pour une application contractante est vraie.
  • Toute application uniformément continue d'une partie dense D d'un espace métrique X, à valeurs dans un espace métrique complet Y, se prolonge de façon unique à X.
Ces 3 théorèmes, ainsi que le théorème de Baire, font que les espaces complets sont le cadre indispensable pour faire de l'analyse fonctionnelle.
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