Définition : On dit qu'une partie A d'un espace métrique est compacte si toute suite de A possède une suite extraite convergente.

On appelle cette propriété propriété de Bolzano-Weierstrass. En effet, le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles se traduit en disant que tout segment [a,b] de R est compact. Ainsi, les espaces compacts sont une généralisation des segments de R. En particulier, les fonctions continues vont bien se comporter vis à vis des espaces compacts. Si K est une partie compacte d'un espace vectoriel normé, alors

• Toute fonction continue sur K y est uniformément continue (thm de Heine).
• Si f:K->R est une fonction continue, alors elle est bornée et atteint ses bornes.

C'est notamment grâce à la compacité que l'on démontre que toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.

  Il existe une caractérisation des espaces métriques compacts, connue sous le nom de propriété de Borel-Lebesgue :

Théorème : Une partie A d'un espace vectoriel normé est compacte si et seulement si, de tout recouvrement de A par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

La propriété de Borel-Lebesgue peut s'interprétér qu'un espace compact est "presque fini". Elle permet de faire des raisonnements au voisinage de chaque point, et d'en déduire un résultat global à partir d'un nombre fini de points.

  Lorsqu'on sort du cadre des espaces métriques, c'est la propriété de Borel-Lebesgue qui sert à définir les parties compactes. Elle n'est alors plus équivalente à la propriété de Bolzano-Weierstrass.