Combinaison avec répétition

Dénombrements et probabilités -- Dénombrement

Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison avec répétition de p éléments de E toute collection de p éléments $[x_1,…,x_p]$ de $E$, non ordonnée, et non nécessairement distincts.
On note $\Gamma_n^p$ le nombre de combinaisons avec répétitions de p éléments parmi n.

Ex :
  • Soit E={R,V,B}. Alors [B,B,R,V,V] est une combinaison avec répétition de 5 éléments de E. On ne fait pas attention à l'ordre, et on a pris ici la convention de regrouper à la suite les B, les R, les V.
  • On souhaite répartir $p$ chiffons dans $n$ tiroirs. On note les tiroirs $t_1,\dots,t_n$. A une répartition, on associe le mot $t_1,\dots,t_1,t_2,\dots,t_2,\dots,t_n,\dots,t_n$, où chaque $t_i$ est répété autant de fois que le nombre de chiffons rangés dans le tiroir. On obtient une combinaison avec répétition.
  • Soient $n$ et $p$ deux entiers. Quel est le cardinal de l'ensemble suivant : $$\left\{(x_1,…,x_n)\in\mathbb N^n;\ x_1+...+x_n=p\right\}$$ On se ramène au problème précédent : si on a une décomposition $x_1+\dots+x_n=p$, alors on a un rangement de $p$ chiffons dans $n$ tiroirs. En effet, dans le tiroir 1, on met $x_1$ chiffons. Dans le tiroir 2, on met $x_2$ chiffons, etc… Réciproquement, si on a un rangement de $p$ chiffons dans $n$ tiroirs, on a une décomposition de $p$ en somme de $n$ entiers naturels, avec $x_1$ le nombre de chiffons dans le premier tiroir, etc...
Théorème : Le nombre de combinaisons avec répétition de $p$ éléments parmi $n$ vaut : $$\Gamma_n^p=\binom{n+p-1}p=\binom{n+p-1}{n-1}.$$
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