$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Combinaison avec répétition

Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison avec répétition de p éléments de E toute collection de p éléments $[x_1,…,x_p]$ de $E$, non ordonnée, et non nécessairement distincts.
On note $\Gamma_n^p$ le nombre de combinaisons avec répétitions de p éléments parmi n.

Ex :
  • Soit E={R,V,B}. Alors [B,B,R,V,V] est une combinaison avec répétition de 5 éléments de E. On ne fait pas attention à l'ordre, et on a pris ici la convention de regrouper à la suite les B, les R, les V.
  • On souhaite répartir $p$ chiffons dans $n$ tiroirs. On note les tiroirs $t_1,\dots,t_n$. A une répartition, on associe le mot $t_1,\dots,t_1,t_2,\dots,t_2,\dots,t_n,\dots,t_n$, où chaque $t_i$ est répété autant de fois que le nombre de chiffons rangés dans le tiroir. On obtient une combinaison avec répétition.
  • Soient $n$ et $p$ deux entiers. Quel est le cardinal de l'ensemble suivant : $$\left\{(x_1,…,x_n)\in\mathbb N^n;\ x_1+...+x_n=p\right\}$$ On se ramène au problème précédent : si on a une décomposition $x_1+\dots+x_n=p$, alors on a un rangement de $p$ chiffons dans $n$ tiroirs. En effet, dans le tiroir 1, on met $x_1$ chiffons. Dans le tiroir 2, on met $x_2$ chiffons, etc… Réciproquement, si on a un rangement de $p$ chiffons dans $n$ tiroirs, on a une décomposition de $p$ en somme de $n$ entiers naturels, avec $x_1$ le nombre de chiffons dans le premier tiroir, etc...
Théorème : Le nombre de combinaisons avec répétition de $p$ éléments parmi $n$ vaut : $$\Gamma_n^p=\binom{n+p-1}p=\binom{n+p-1}{n-1}.$$
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