Combinaison

Dénombrements et probabilités -- Dénombrement

Définition et calcul
Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p éléments de E toute collection non ordonnée de p éléments distincts de E, ie toute partie de E à p éléments.
On note $\binom np$ le nombre de combinaisons de p éléments parmi n. On a : $$\binom np=\frac{n!}{p!(n-p)!}.$$ Ex : Tirage par poignées.
  Une urne contient n boules numérotée de 1 à n. On tire simultanément p boules de U. Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n.

On ne doit pas confondre combinaison et arrangement. Un arrangement est une suite ordonnée de p éléments, c'est-à-dire que, contrairement aux combinaisons, l'ordre intervient : prenons l'exemple d'un ensemble E à 4 éléments E={a,b,c,d}. On cherche toutes les combinaisons et tous les arrangements à trois éléments :
  • A partir des 3 lettres a,b,c, on ne peut former qu'une seule combinaison {a,b,c}, mais 6=3! arrangements : abc,acb,bca,bac,cab,cba.
  • A partir des 3 lettres a,b,d, on peut également former une seule combinaison, mais 6 arrangements.
  • De même avec les 3 lettres a,c,d et les 3 lettres b,c,d.
Ainsi, on a ici 4 combinaisons, mais 24 arrangements. Donnons encore un exemple concret pour illustrer la différence entre arrangements et combinaisons :
  • Si on cherche le nombre de mains de 8 cartes que l'on peut avoir à la belote, on cherche le nombre de combinaisons de 8 cartes parmi 32 : La main (7 de coeur - valet de trèfle...) est en effet identique à la main (valet de trèfle, 7 de coeur,...)
  • Si on cherche le nombre d'entiers de 3 chiffres ne s'écrivant qu'avec des chiffres impairs tous distincts, on cherche le nombre d'arrangements de 3 éléments parmi 5 ( {1,3,5,7,9} ). En effet, le nombre 731 est différent du nombre 371.
Les formules donnant les valeurs du nombre de combinaisons à p éléments dans un ensemble à n éléments sont connues depuis le XII è siècle. Cependant, les relations entre ces nombres, ainsi que leurs multiples applications, dont la formule du binôme (improprement appelée de Newton) ne seront établies qu'au XVIIè s. par Blaise Pascal, à la suite d'une longue correspondance avec Pierre de Fermat.
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