Classe monotone

Analyse -- Intégration

Définition : Soit X un ensemble et une famille de parties de X. On dit que est une classe monotone si
  1. est stable par réunion monotone croissante :

Une tribu est une classe monotone, et réciproquement une classe monotone stable par intersection finie est une tribu. Si E est une famille de parties de X, on peut aussi définir la classe monotone engendrée par E comme la plus petite classe monotone contenant E. C'est l'intersection de toutes les classes monotones qui contiennent E.

Le théorème suivant est le principal résultat concernant les classes monotones :

Théorème des classes monotones : Soit E une famille de parties de X, stable par intersection finie. Alors la tribu engendrée par E et la classe monotone engendrée par E coïncident.

Il existe d'autres définitions proches d'une classe monotone. Par exemple, on peut, au lieu des conditions 2. et 3. de la définition donnée plus haut, demander à ce qu'une classe monotone soit stable par réunion croissante et par intersection décroissante. Le théorème des classes monotones reste vrai en supposant en outre que E est stable par passage au complémentaire.

La notion de classe monotone est notamment utilisée dans la construction de la mesure produit. Une des difficultés est qu'on doit la définir sur tous les éléments de la tribu produit, qui contient en général beaucoup d'ensembles. Grâce aux classes monotones, on peut la définir sur une classe plus restreinte d'ensembles et faire appel au théorème des classes monotones pour la prolonger à toute la tribu.

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