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Bibm@th

Classe à gauche, classes à droites

Soit $G$ un groupe, et $H$ un sous-groupe de $G$. On définit une relation d'équivalence sur $G$ par : $$x\mathcal R y\iff y^{-1}x\in H.$$ Les classes d'équivalence de cette relation sont appelées classes à gauche modulo $H$. Ce sont les ensembles du type $xH=\{xh; h\in H\}$. On peut définir de même les classes à droite, qui seront les $Hx$.

La notion de classe à gauche (ou à droite) permet de démontrer le théorème de Lagrange, qui dit que le cardinal d'un sous-groupe divise le cardinal du groupe. Il suffit pour cela de se souvenir que les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble sur lequel la relation d'équivalence est définie, et de montrer que pour tout $x\in G$, le cardinal de $xH$ vaut le cardinal de $H$.