Fonction de classe C1, Ck, Cinfini

Analyse -- Fonctions d'une variable réelle
Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

Fonction d'une variable réelle
  Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que f est
  • de classe C1 si f est dérivable sur I, et f' est continue sur I.
  • de classe Ck si toutes les dérivées de f jusqu'à l'ordre k existent sur I, et si f(k) est continu sur I.
  • de classe si f est Ck sur I pour tout k. Autrement dit, si f est indéfiniment dérivable sur I.

  La plupart des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, fonction trigonométriques,...) sont sur leur domaine de définition.

Fonction de plusieurs variables réelles
  Il existe deux définitions "naturelles" d'une fonction de classe C1 pour une fonction de plusieurs variables. Ces deux définitions sont heureusement équivalentes.

Définition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. On dit que f est de classe C1 si toutes les dérivées partielles de f existent et sont continues sur U.

En terme de différentielle, on a la caractérisation suivante :

Proposition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application est continue.

Plus généralement, f est de classe Ck sur U si toutes les dérivées partielles de f jusqu'à l'ordre k existent et sont continues sur U.
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