Fonction d'une variable réelle

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  Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que f est

• de classe C¹ si f est dérivable sur I, et f' est continue sur I.
• de classe C^k si toutes les dérivées de f jusqu'à l'ordre k existent sur I, et si f^(k) est continu sur I.
• de classe si f est C^k sur I pour tout k. Autrement dit, si f est indéfiniment dérivable sur I.

  La plupart des fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, fonction trigonométriques,...) sont sur leur domaine de définition.

Fonction de plusieurs variables réelles

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  Il existe deux définitions "naturelles" d'une fonction de classe C¹ pour une fonction de plusieurs variables. Ces deux définitions sont heureusement équivalentes.

Définition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. On dit que f est de classe C1 si toutes les dérivées partielles de f existent et sont continues sur U.

En terme de différentielle, on a la caractérisation suivante :

Proposition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn. f est de classe C1 sur U si et seulement si f est différentiable sur U et si l'application est continue.

Plus généralement, f est de classe C^k sur U si toutes les dérivées partielles de f jusqu'à l'ordre k existent et sont continues sur U.