Changement de variables
Fonctions d'une variable réelle
Théorème :
Soit $\varphi$ une fonction réelle
de classe $\mathcal C^1$ définie sur un intervalle $[a,b]$.
Soit $f$ une fonction continue sur $\varphi([a,b])$. Alors on a l'égalité :
$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt=\int_{a}^{b}(f\circ\varphi(x))\varphi'(x)dx.$$
Fonctions de plusieurs variables
Le résultat précédent se généralise comme suit aux fonctions de plusieurs variables.
Théorème :
Soient $U$ et $V$ deux ouverts de $\mathbb R^n$ et $\phi$
un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V$. Soit $f$ une fonction de $V$ dans $\mathbb C$ intégrable.
Alors la fonction $f(\phi(x))|\det J(\phi)(x)|$ est intégrable sur $U$ et on a
$$\int_V f(y)d\lambda(y)=\int_U f(\phi(x)) |\det J(\phi)(x)|d\lambda(x)$$
($J(\phi)$ désigne la matrice jacobienne de $\phi$).
Applications
- Coordonnées polaires : On se place dans le plan $\mathbb R^2$, on note $(r,\theta)$ les coordonnées polaires et $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ les coordonnées cartésiennes. Si un domaine du plan se représente par $(x,y)\in U$ en coordonnées cartésiennes et par $(r,\theta)\in V$ en coordonnées polaires, alors on a $$\int\!\int_U f(x,y)dxdy=\int\!\int_V f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta.$$
- Coordonnées cylindriques : On se place dans l'espace $\mathbb R^3$, on note $(r,\theta,z)$ les coordonnées cylindriques et $(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$, $r>0$, $\theta\in[0,2\pi[$ les coordonnées cartésiennes. Si un ouvert de l'espace se représente par $(x,y,z)\in U$ en coordonnées cartésiennes et par $(r,\theta,z)\in V$ en coordonnées cylindriques, alors on a $$\int\!\int\!\int_U f(x,y)dxdydz=\int\!\int\!\int_V f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz.$$
- Coordonnées sphériques : On se place dans l'espace $\mathbb R^3$, on note $(r,\theta,\phi)$ les coordonnées sphériques et $(x,y,z)=(r\cos\theta\cos \phi,r\sin\theta\cos\phi,r\sin\phi)$, $r>0$, $\theta\in[0,2\pi[$, $\phi\in]-\pi/2,\pi/2[$ les coordonnées cartésiennes. Si un ouvert de l'espace se représente par $(x,y,z)\in U$ en coordonnées cartésiennes et par $(r,\theta,\phi)\in V$ en coordonnées cylindriques, alors on a $$\int\!\int\!\int_U f(x,y)dxdydz=\int\!\int\!\int_V f(r\cos\theta\cos\phi,r\sin\theta\cos\phi,r\sin\phi)r^2\cos \phi drd\theta d\phi.$$
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