$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Changement de variables

Fonctions d'une variable réelle
Théorème : Soit $\varphi$ une fonction réelle de classe $\mathcal C^1$ définie sur un intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur $\varphi([a,b])$. Alors on a l'égalité : $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt=\int_{a}^{b}(f\circ\varphi(x))\varphi'(x)dx.$$
Fonctions de plusieurs variables

Le résultat précédent se généralise comme suit aux fonctions de plusieurs variables.

Théorème : Soient $U$ et $V$ deux ouverts de $\mathbb R^n$ et $\phi$ un $\mathcal C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V$. Soit $f$ une fonction de $V$ dans $\mathbb C$ intégrable. Alors la fonction $f(\phi(x))|\det J(\phi)(x)|$ est intégrable sur $U$ et on a $$\int_V f(y)d\lambda(y)=\int_U f(\phi(x)) |\det J(\phi)(x)|d\lambda(x)$$ ($J(\phi)$ désigne la matrice jacobienne de $\phi$).
Applications
  • Coordonnées polaires : On se place dans le plan $\mathbb R^2$, on note les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes. Si un domaine du plan se représente par en coordonnées cartésiennes et par en coordonnées polaires, alors on a
  • Coordonnées cylindriques : On se place dans l'espace $\mathbb R^3$, on note les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes. Si un ouvert de l'espace se représente par en coordonnées cartésiennes et par en coordonnées cylindriques, alors on a
  • Coordonnées sphériques : On se place dans l'espace $\mathbb R^3$, on note les coordonnées sphériques et les coordonnées cartésiennes. Si un ouvert de l'espace se représente par en coordonnées cartésiennes et par en coordonnées cylindriques, alors on a