Changement de variables

Analyse -- Intégration

Fonctions d'une variable réelle
Théorème : Soit une fonction réelle de classe C1 définie sur un intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur . Alors on a l'égalité :

Fonctions de plusieurs variables
  Le résultat précédent se généralise comme suit aux fonctions de plusieurs variables.
Théorème : Soient U et V deux ouverts de Rn et un C1 difféomorphisme de U sur V. Soit f une fonction de V dans R intégrable. Alors la fonction est intégrable sur U et on a :
( désigne la matrice jacobienne de ).

Applications
  • Coordonnées polaires : On se place dans le plan R2, on note les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes. Si un domaine du plan se représente par en coordonnées cartésiennes et par en coordonnées polaires, alors on a
  • Coordonnées cylindriques : On se place dans l'espace R3, on note les coordonnées cylindriques et les coordonnées cartésiennes. Si un ouvert de l'espace se représente par en coordonnées cartésiennes et par en coordonnées cylindriques, alors on a
  • Coordonnées sphériques : On se place dans l'espace R3, on note les coordonnées sphériques et les coordonnées cartésiennes. Si un ouvert de l'espace se représente par en coordonnées cartésiennes et par en coordonnées cylindriques, alors on a

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