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Nombres pseudo-premiers et nombres de Carmichael

  Rappelons l'énoncé du petit théorème de Fermat :

Théorème : Soit p un nombre premier, et a un entier premier avec p. Alors ap-1 a pour reste 1 dans la division par p :
ap-1=1 mod p

  Il est facile, à partir de ce théorème, de fabriquer un test de non-primalité : si un nombre n est donné, on choisit un nombre a premier avec n, et on calcule an-1 : si on ne trouve pas 1 modulo n, c'est que n n'est pas premier. Ce test est très rapide, car on calcule an-1 en effectuant au plus 2log n opérations. On procède en effet par élévations au carré successives : si par exemple on veut calculer 312, on remarque que 12=23+22, d'où 312=((32)2)2(32)2.

  Malheureusement, le petit théorème de Fermat n'est pas une condition nécessaire et suffisante, et il existe des entiers n non premiers pour lesquel an-1=1 mod n. De tels entiers sont dits pseudopremiers de base a. Par exemple,
  • 341=11×31 est pseudo-premier en base 2.
  • 91=7×13 est pseudo-premier en base 3.
Qu'à cela ne tienne, se dit-on. Si 341 est pseudo-premier en base 2, il ne l'est pas en base 3, et le test avec 3 dira que n est composé. Malheureusement, cela n'est pas encore suffisant, car il existe des entiers non premiers n, mais pseudo-premiers pour toute base a<n, où a ne divise pas n. Ces nombres sont appelés nombres fortement pseudo-premiers, ou nombres de Carmichael. Les premiers nombres de Carmichael sont : 561, 1105, 1729, 2465, et on sait depuis 1994 qu'il en existe une infinité. Voici une caractérisation des nombres de Carmichael :

Théorème : n, entier non premier, est un nombre de Carmichael si, et seulement si, n =p1×...×pk, où p1,...,pk sont des nombres premiers deux à deux distincts tels que (pi-1) divise (n-1) pour tout i de {1,2,...,k}.
On trouvera une preuve de ce théorème dans le deuxième problème du Capes 2003.
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