$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Champ de vecteurs

  On appelle champ de vecteur toute application f définie sur un ouvert U de Rn, à valeurs dans Rn. Autrement dit, à tout point de U, on associe un vecteur de Rn.

Ex : Le vent! En tout point de la surface de la terre, on associe un vecteur qui représente la force, la direction et le sens du vent. On définit ainsi un champ de vecteurs.


Cas des équations différentielles :
  Soit y'=f(x,y) une équation différentielle. Si est une solution, et si (x,y) est un point du graphe de , alors on a , et en ce point la pente de la tangente au graphe est .

  A chaque point (x,y) du plan, on associe donc une direction donnée par la pente f(x,y) : on parle de champ de directions de l'équation différentielle (ou encore de son champ de vecteurs). On a donc :
Le graphe d'une solution de l'équation différentielle est en tout point tangent au champ de directions.
C'est pour cela qu'on dit qu'une solution est une ligne de champ. Le tracé du champ de directions est très important dans l'étude des solutions d'une équation différentielle. Il permet de deviner sur le dessin le comportement des solutions.

L'applet suivante permet de tracer le champ de directions d'une équation différentielle :