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Moyenne de Cesàro

Soit une suite $(u_n)_{n\geq 1}$. La suite des moyennes de Cesàro de $(u_n)$ est la suite $(S_n)$ définie par, pour $n\geq 1$ :

$$S_n=\frac{u_1+\cdots+u_n}n.$$
Théorème : Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite de nombres réels qui converge vers $\ell\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. Alors la suite de ses moyennes de Cesàro $(S_n)$ converge aussi vers $\ell$.

La réciproque du théorème précédent est fausse. Par exemple, la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ définie par $u_n=(-1)^n$ ne converge pas, alors que la suite de ses moyennes de Cesàro converge.

Le théorème est valable dans un contexte bien plus général, par exemple pour toute suite $(u_n)$ d'un espace métrique $(E,d),$ à condition de supposer que $(u_n)$ converge vers un élément de $E.$ C'est le cas en particulier des suites complexes qui convergent vers $\ell\in\mathbb C.$

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