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Déterminants de Cayley-Menger

Les déterminants de Cayley-Menger sont des déterminants qui permettent de calculer le volume de simplexes dans $\mathbb R^n$. Ils sont définis de la façon suivante. On considère $A_1,\dots,A_{n+1}$ $(n+1)$ points de l'espace euclidien $\mathbb R^n$. Le déterminant de Cayley-Menger associé aux points $A_1,\dots,A_{n+1}$ est le déterminant $$CM(A_1,\dots,A_{n+1})= \left| \begin{array}{ccccc} 0&1&1&\dots&1\\ 1&0&A_1A_2^2&\dots&A_1A_{n+1}^2\\ 1&A_2A_1^2&0&\dots&A_2A_{n+1}^2\\ \cdots&\cdots&\cdots&&\cdots\\ 1&A_{n+1}A_1^2&A_{n+1}A_2^2&\dots&0 \end{array}\right|.$$

Soit $A_1,\dots,A_{n+1}$ $(n+1)$ points de l'espace euclidien $\mathbb R^n$. Alors le volume $V$ du simplexe de sommets $A_1,\dots,A_{n+1}$ vérifie $$V^2=\frac{(-1)^{n+1}}{2^n (n!)^2}CM(A_1,\dots,A_{n+1}).$$

Cette formule se simplifie en dimension 2. On a trois points $A,B,C$ et on considère la surface $S$ du triangle $ABC$. Alors il est égal à $$S^2=\frac{-1}{16}\left| \begin{array}{cccc} 0&1&1&1\\ 1&0&AB^2&AC^2\\ 1&AB^2&0&AC^2\\ 1&AC^2&BC^2&0 \end{array}\right|.$$ En calculant le déterminant, on trouve que $$S^2=p(p-AB)(p-AC)(p-BC)$$ où $p=(AB+AC+BC)/2$ est le demi-périmètre. On reconnait la formule de Héron d'Alexandrie dont le théorème précédent constitue donc une généralisation.

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