$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Critère de Cauchy uniforme

Définition : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb C$. On dit qu'elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $I$ si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ \forall x\in I,\ |f_p(x)-f_q(x)|<\veps.$$

Autrement dit, pour chaque $x$ de $I$, la suite $(f_n(x))$ est de Cauchy, et toutes ces suites sont de Cauchy "de la même façon".

Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb C$. La suite vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $I$ si et seulement si elle converge uniformément sur $I$.

Dans les énoncés précédents, le fait que $I$ soit un intervalle de $\mathbb R$ et que les fonctions sont à valeurs dans $\mathbb C$ n'a pas vraiment d'importance. Le point clé est que $\mathbb C$ est complet. Plus généralement, si $A$ est un ensemble et $(f_n)$ est une suite de fonctions de $A$ à valeurs dans un espace métrique $(Y,d)$, on dit que $(f_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall p,q\geq N,\ \forall x\in I,\ d(f_p(x),f_q(x))<\veps.$$ Si $Y$ est complet, toute suite qui vérifie le critère de Cauchy uniforme sur $I$ converge uniformément sur $I$, et réciproquement.

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