$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Critère de Cauchy uniforme

Définition : Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans C. On dit qu'elle vérifie le critère de Cauchy uniforme si :
Autrement dit, pour chaque x de I, la suite (fn(x)) est de Cauchy, et toutes ses suites sont de Cauchy "de la même façon".
Théorème : Soit (fn) une suite de fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans C. Si la suite vérifie le critère de Cauchy uniforme, alors elle converge uniformément.

  Dans les énoncés précédents, le fait que I soit un intervalle de R et que les fonctions sont à valeurs dans C n'ont pas vraiment d'importance. Le point clé est que C est complet. Plus généralement, si A est un ensemble et (fn) est une suite de fonctions de A à valeurs dans un espace métrique (Y,d), on dit que (fn) vérifie le critère de Cauchy uniforme si :
Si Y est complet, toute suite qui vérifie le critère de Cauchy uniforme converge uniformément.
Consulter aussi...