$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Suite de Cauchy

Dans R ou C
Définition : On dit qu'une suite (un) de réels ou de complexes est une suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :

On prouve que dans R ou dans C, toute suite de Cauchy converge, de même que toute suite convergente est de Cauchy. Le critère de Cauchy est néanmoins utile pour prouver que toute série absolument convergente est convergente.

Dans un espace métrique
Définition : On dit qu'une suite (un) d'un espace métrique (X,d) est une suite de Cauchy si elle vérifie la propriété suivante, appelée critère de Cauchy :
(si on se place dans un espace vectoriel normé (E,N), on remplace d(up,uq) par N(up-uq)).

  On prouve encore que toute suite convergente est de Cauchy, mais cette fois en général la réciproque est fausse. On introduit alors la notion d'espace métrique complet pour les espaces dans lesquels toutes les suites de Cauchy convergent.

La première utilisation des suites de Cauchy pour étudier la convergence d'une série remonte à 4 siècles avant Cauchy. Elle est l'oeuvre de Nicolas Oresme qui a prouvé que la suite Sn=1+1/2+...+1/n est divergente. Pour cela, il remarque essentiellement que S2n-Sn>1/2, et donc que la suite ne peut pas être de Cauchy. Remarquons toutefois qu'il n'utilise ici que le sens facile : toute suite convergente est nécessairement de Cauchy!

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