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Théorème de Cauchy-Peano

Théorème : Soit $f$ une fonction continue sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$, et considérons l'équation différentielle $y'(t)=f(t,y(t))$. Pour tout couple $(t_0,y_0)$ de $U$, cette équation admet une solution $y$ telle que $y(t_0)=y_0$.
  La solution à l'équation différentielle n'est pas toujours unique. Prenons par exemple l'équation $y'(t)=3y^{2/3}$, avec la condition initiale $y(0)=0$. La fonction identiquement nulle $y_1(t)=0$ pour tout réel $t$ est solution de l'équation différentielle. Mais la fonction $y_2$ définie par $y_2(t)=0$ si $t\leq 0$ et $y_2(t)=t^3$ si $t\geq 0$ est aussi solution. Il y a donc une grosse différence entre ce théorème et les théorèmes de Cauchy-Lipschitz où on a unicité de la solution dès lors qu'on impose des conditions supplémentaires sur $f$ (du type $f$ est de classe $C^1$ ou $f$ est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable).

Ce théorème a été prouvé par Peano en 1886, et le contre-exemple découvert par le même mathématicien 4 ans plus tard. On donne aussi à ce théorème le nom de Cauchy-Arzela.
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