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Intégrale de Cauchy

  L'intégrale de Cauchy est l'une des intégrales les plus simples, et elle donne des résultats très satisfaisants pour des fonctions continues. C'est en général cette intégrale qui est enseignée dans les cursus de math en L1/L2 ou Math Sup/Math Spé.
Intégrale de Cauchy d'une fonction continue
  Prenons $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. A toute subdivision de $[a,b]$ : $ \sigma:a=x_0<x_1<...<x_n=b $ on associe le pas de la subdivision $|\sigma|=\sup_{1\leq i\leq n}x_{i}-x_{i-1}$ et la somme $$S(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n f(x_{i-1})(x_{i}-x_{i-1}).$$ $f$ étant uniformément continue sur $[a,b]$, on (Cauchy) prouve facilement que, pour toute suite $(\sigma_n)$ de subdivisions dont le pas tend vers 0, la suite $(S(f,\sigma_n))$ converge et la limite ne dépend pas de la suite $(\sigma_n)$ choisie. C'est par définition l'intégrale de $f$ sur $[a,b]$.
Intégrale de Cauchy d'une fonction réglée
  La construction précédente utilise essentiellement la propriété suivante des fonctions continues sur $[a,b]$ : elles sont limites uniformes sur $[a,b]$ de fonctions en escalier. C'est pourquoi on peut étendre la construction de Cauchy à la classe des fonctions qui sont limites uniformes sur $[a,b]$ de fonctions en escalier. Ces fonctions sont appelées fonctions réglées.

Cauchy publie cette construction de l'intégrale en 1823 dans son Résumé des leçons données à l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal. Il s'agit là de la première définition rigoureuse de l'intégrale. Toutefois, Cauchy utilise implicitement qu'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ y est en réalité uniformément continue. Il faudra attendre Heine pour expliciter la notion d'uniforme continuité et apporter une preuve du résultat précédent, vers 1870.
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