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Théorème japonais de Carnot

Théorème : Soit $ABC$ un triangle. Alors la somme des distances signées du centre du cercle circonscrit aux 3 côtés du triangle est égale à la somme du rayon du cercle circonscrit et du rayon du cercle inscrit.

Ici, le terme "distance signée" signifie qu'il faut considérer l'opposé de la distance si le segment est entièrement à l'extérieur du triangle, la distance sinon.

$$GD+GE+GF=R+r.$$

Il est bien connu que par cinq points distincts du plan, il passe toujours une unique conique. Le théorème précédent peut être vu comme une condition nécessaire et suffisante pour que par 6 points du plan situés deux à deux sur les côtés d'un triangle passe une conique.

Cet énoncé se généralise en réalité à l'intersection du courbe algébrique de degré $n$ avec un triangle $ABC$ (il faut alors considérer $3n$ points). Le cas $n=1$ correspond au théorème de Ménélaüs. Le cas $n=2$ est celui décrit ci-dessus.

Ce théorème de Lazare Carnot, démontré en 1803, est qualifié de "japonais" car il permet de résoudre un Sangaku proposé en 1800 par le japonais Ryokan Maruyama. Les Sangaku sont des énigmes géométriques japonaises de géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois. L'énigme dont il est question concerne les triangulations de polygones. Le théorème japonais de Carnot permet en effet de démontrer qu'un polygone est inscriptible dans un cercle si et seulement si, quelque que soit la triangulation de ce polygone, la somme des rayons des cercles inscrits aux triangles apparaissant dans la triangulation est constante. Par exemple, dans la figure suivante, la somme des rayons des cercles rouges est égale à la somme des rayons des cercles bleus.