$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Carnot

Théorème : Soit $ABC$ un triangle, $P$ et $P'$ deux points de $(BC)$ (et distincts des sommets), $Q$ et $Q'$ deux points de $(CA)$ (distincts des sommets), $R$ et $R'$ deux points de $(AB)$ (distincts des sommets). Alors les six points $P,P',Q,Q',R,R'$ sont sur une même conique si et seulement si $$\left(\frac{\overline{PC}}{\overline{PB}}\times\frac{\overline{P'C}}{\overline{P'B}}\right)\times \left(\frac{\overline{QA}}{\overline{QC}}\times\frac{\overline{Q'A}}{\overline{Q'C}}\right)\times\left(\frac{\overline{RB}}{\overline{RA}}\times\frac{\overline{R'B}}{\overline{R'A}}\right)=1.$$

Il est bien connu que par cinq points distincts du plan, il passe toujours une unique conique. Le théorème précédent peut être vu comme une condition nécessaire et suffisante pour que par 6 points du plan situés deux à deux sur les côtés d'un triangle passe une conique.

Cet énoncé se généralise en réalité à l'intersection du courbe algébrique de degré $n$ avec un triangle $ABC$ (il faut alors considérer $3n$ points). Le cas $n=1$ correspond au théorème de Ménélaüs. Le cas $n=2$ est celui décrit ci-dessus.

Consulter aussi...