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Cardinal, et hiérarchie au delà de l'infini!

  Le cardinal d'un ensemble E est le nombre d'éléments de cet ensemble. Voilà une définition qui ne pose pas de problèmes si E est un ensemble fini.... Mais comment définir le cardinal, ou nombre d'éléments d'un ensemble infini?? Est-ce qu'il peut y avoir une hiérarchie entre les ensembles infinis? Par exemple, peut-on dire que l'ensemble des nombres entiers N a moins d'éléments que celui des nombres réels R???

  Soient E1 et E2 deux ensembles quelconques. On dit que E et F sont équipotents s'il existe une bijection de E sur F. Cette relation "être équipotent" est une relation d'équivalence. On appelle nombre cardinal d'un ensemble E la classe d'équivalence de l'ensemble E pour cette relation. Par abus de langage, on dira que E est de cardinal n si E est équipotent à l'ensemble {1,2,3,...,n}. Si l'ensemble E est infini, son cardinal est ce que l'on appelle un nombre transfini.

  Comment définir une hiérarchie sur les cardinaux??? On dira que le nombre cardinal d'un ensemble E est plus petit que le nombre cardinal d'un ensemble F, si E est en bijection avec une partie de F, sans être en bijection avec F tout entier. Par exemple, n est bien plus petit que n+1, puisque l'ensemble {1,...,n} est en bijection avec une partie de {1,...,n+1}, sans être en bijection avec l'ensemble complet.

  Quid des cardinaux infinis??? N={1,2,3,....} est un ensemble infini, et son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini. Mais il existe des cardinaux strictement plus grands : par exemple, l'ensemble des réels R ne peut pas être mis en bijection avec N.

Pour plus d'informations, n'hésitez pas à lire aussi les articles équipotent et dénombrable!
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