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Formule de Cardan

La formule de Cardan est une formule qui permet de résoudre l'équation générale du troisième degré $x^3=px+q$. Ainsi, dans Ars Magna (1547), Cardan affirme qu'une racine de cette équation est :

Prenons l'équation $x^3=51x+104$. En étudiant les variations de la fonction $f(x)=x^3-51x-104$ (notamment les limites en plus ou moins l'infini), il est clair que cette équation admet une racine réelle (c'est d'ailleurs le cas de tous les polynômes de degré 3). Pourtant, la formule de Cardan donne :
Cela pose bien sûr beaucoup de problèmes, car a priori un nombre négatif n'admet pas de racines carrées. Cardan travaille alors avec un nombre imaginaire : racine (-1). Nous notons nous, en notations modernes, i ce nombre tel que i2=-1. En particulier, (47i)2=-2209. La formule de Cardan devient :
Maintenant, en admettant que l'on puisse continuer à appliquer les règles habituels de la multiplication et de l'addition avec ce nombre "racine de -1", nous trouvons que (4+i)3=52+47i, et (4-i)3=52-47i. En reportant cela dans la formule de Cardan, il vient qu'une racine est 8. Et c'est effectivement le cas! En introduisant ce nombre imaginaire racine de -1, et en travaillant avec lui comme si c'était un nombre classique, on trouve donc une racine tout ce qu'il y a de plus réelle de l'équation! Ce sont ces considérations qui sont à l'origine de l'introduction des nombres complexes.

L'histoire de la résolution des équations cubiques (ou équations de degré 3) est un vrai roman. Le premier à avoir résolu ce type d'équations est Scipione del Ferro. Il ne publie pas ses résultats, mais les transmet vers la fin de sa vie à son élève Fior. Celui-ci en profite pour gagner de nombreux "concours mathématiques". En 1535, l'un de ces concours l'oppose à Tartaglia. Chacun propose à l'autre 30 équations à résoudre. Fior ne sait résoudre que les équations du type x3+ax=b (rappelons qu'à l'époque, les nombres négatifs n'existent pas, et qu'il y a plusieurs types d'équations cubiques). Les équations proposées par Tartaglia sont de la forme x3+ax2=b, et Fior ne sait en résoudre aucune. En revanche, Tartaglia (re)découvre la méthode de résolution des équations proposées par Fior (du type x3+ax=b). La légende veut qu'il ait fait cette découverte la nuit précédent la date limite. Ainsi, Tartaglia gagne facilement le duel, mais il renonce au prix (30 banquet successifs).

Tartaglia ne dévoile pas sa méthode, espérant gagner d'autres concours. Cependant, en 1539, Cardan le fait venir à Milan et le persuade de lui livret son secret en échange de la protection du gouverneur de Milan. Tartaglia finit par accepter, à condition que Cardan ne révèle jamais la formule. Aidé de son élève Ferrari, Cardan trouve alors la solution de toutes les équations de degré 3, puis de degré 4. En 1543, il apprend que Scipione del Ferro avait déjà trouvé la méthode de résolution des équations du type x3+ax=b, bien avant Tartaglia. Se sentant délié de sa promesse; il publie en 1545 dans Ars Magna les résultats de Scipione del Ferro, Tartaglia, Ferrari et lui-même, sans oublier de préciser à qui sont dus ces résultats. Malgré cela, Tartaglia est fou de colère. Les invectives entre les deux camps sont nombreuses, et le point culminant de la dispute est l'organisation d'un débat en 1548 opposant Tartaglia à Ferrari. Ce dernier en sort vainqueur, et Tartaglia perd le poste de professeur qu'il venait d'obtenir à Brescia. Au contraire, Ferrari devient reconnu et peut accéder à des postes lucratifs!
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