Fonction caractéristique d'une variable aléatoire

Si $X$ est une variable aléatoire, on appelle fonction caractéristique de $X$ la fonction définie pour tout réel $t$ par $$\phi_X(t)=\mathbb E(e^{itX}).$$ En particulier, si $X$ admet une densité $f$, alors la fonction caractéristique de $X$ n'est autre que la transformée de Fourier de $f$ : $$\phi_X(t)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{itx}dx.$$

La terminologie fonction caractéristique est bien appropriée : deux variables aléatoires $X$ et $Y$ ont même loi si elles ont la même fonction caractéristique. C'est pourquoi les fonctions caractéristiques sont un outil puissant en probabilités. Elles peuvent être utilisées par exemple pour déterminer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, ou pour démontrer le théorème limite central.