Lemme des bergers
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Théorème : (Lemme des bergers) Soient X,Y
deux ensembles finis, et f:X->Y une application
surjective telle que tout
élément de Y a exactement n antécédents dans X. Alors on a : Card(X)=n*Card(Y). |
Démonstration : Expliquons. On considère
un troupeau de moutons (non transgéniques...) et on pose
Y={moutons}, et X={pattes des moutons}, et on considère
f:X->Y l'application qui à une patte associe
son propriétaire. C'est bien une application surjective,
et chaque mouton a 4 pattes, autrement dit chaque élément
de Y a 4 antécédents par f. On a : Card(X)=4*Card(Y).
Pour connaître le nombre de pattes, il suffit de connaître
le nombre de moutons. La démonstration générale
copie ce raisonnement, en le mathématisant par l'introduction
d'une relation d'équivalence.