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Lemme des bergers


Théorème :   (Lemme des bergers) Soient X,Y deux ensembles finis, et f:X->Y  une application surjective telle que tout élément de Y a exactement n antécédents dans X. Alors on a : Card(X)=n*Card(Y).
 


Démonstration : Expliquons. On considère un troupeau de moutons (non transgéniques...) et on pose Y={moutons}, et X={pattes des moutons}, et on considère f:X->Y  l'application qui à une patte associe son propriétaire. C'est bien une application surjective, et chaque mouton a 4 pattes, autrement dit chaque élément de Y a 4 antécédents par f. On a : Card(X)=4*Card(Y). Pour connaître le nombre de pattes, il suffit de connaître le nombre de moutons. La démonstration générale copie ce raisonnement, en le mathématisant par l'introduction d'une relation d'équivalence.$ \Box$