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Problème de Burnside

  Le problème de Burnside est un problème sur les groupes posé par le mathématicien anglais William Burnside en 1902, et qui a engendré de nombreux travaux au cours du XXiè siècle. Il peut s'énoncer ainsi :`
Étant donné un groupe $G$ engendré par un nombre fini d'éléments et tel que tous les éléments ont un ordre fini, est-ce que $G$ est fini?
  Voici quelques-uns des résultats les plus impressionants concernant ce problème :
  • En 1964, Evgeny Golod et Igor Shafarevich ont résolu le problème par la négative, en construisant un groupe finiment engendré donc tous les éléments sont d'ordre fini, mais qui est de cardinal infini.
  • Dans l'exemple de Golod et de Shafarevich, tous les éléments sont d'ordre fini, mais l'ordre de chaque élément n'est pas forcément borné. Un pas supplémentaire fut franchi par Pyotr Novikov et Sergei Adian en 1969, qui ont construit un groupe infini engendré par un nombre fini d'éléments, et dont tous les éléments sont d'ordre inférieur ou égal à 4383!
  • Inversement, on peut se demander si un groupe fini ayant $m$ générateurs et dont l'ordre des éléments est majoré par $n$ a un cardinal borné par une constante ne dépendant que de $n$ et $m$. De façon équivalente, n'existe-t-il qu'un nombre fini de groupes finis ayant $m$ générateurs et dont l'ordre des éléments est majoré par $n$? De façon très étonnante, si on compare avec le résultat de Novikov et Adian, la réponse est positive, comme l'a montré Efim Zelmanov en 1989. Pour ces travaux, il a obtenu la médaille Fields en 1994.
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