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Paradoxe de Burali-Forti

  Le paradoxe de Burali-Forti est un paradoxe d'une théorie naïve des ensembles du type "ensemble de tous les ensembles" énoncé par le mathématicien italien Cesare Burali-Forti en 1897, cinq ans avant le célèbre paradoxe du mathématicien anglais Russell. Il utilise la notion d'ordinal.

  Les ordinaux sont des généralisations des nombres entiers lorsqu'ils servent à désigner l'ordre d'un élément dans une collection. On sait que deux ordinaux distincts $\alpha$ et $\beta$ sont toujours strictement comparables : ou bien $\alpha<\beta$, ou bien $\beta<\alpha$. Si la collection des ordinaux était un ensemble, ce serait également un ordinal. Mais cet ordinal serait strictement supérieur à chacun de ses éléments, donc à lui-même, ce qui est une contradiction.

  Bien que l'énoncé soit plus technique et nécessite de comprendre la notion d'ordinal, l'argument est très proche de celui utilisé par Russell pour prouver que "l'ensemble de tous les ensembles" ne peut pas exister.
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