$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Etude des branches infinies - Cas des courbes paramétrées

Définition : Soit (I,f) un arc paramétré du plan et C la courbe paramétrée associée. On dit que C admet une branche infinie lorsque t tend vers t0, où t0 est une extrémité de I, si

Notons (x(t),y(t))=f(t). Les branches infinies généralement rencontrées sont de l'une des formes suivantes :
  • Si , alors la courbe paramétrée possède une asymptote verticale d'équation x=a.
  • Si , alors la courbe paramétrée possède une asymptote horizontale d'équation y=b.
  • Si , alors on s'intéresse à la quantité :
    • Si , alors la courbe paramétrée C possède une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
    • Si , alors la courbe paramétrée C possède une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

    • Si , alors on s'intéresse, si elle existe, à .
      • Si , alors la courbe paramétrée C possède une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation y=ax.
      • Si b existe et est fini, alors la courbe paramétrée C possède une asymptote d'équation y=ax+b. De plus, le signe de y(t)-(ax(t)+b) au voisinage de t0 donne la position de la courbe par rapport à son asymptote.
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