$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Etude des branches infinies - Cas des courbes paramétrées

Définition : Soit $(I,f$) un arc paramétré du plan et $C$ la courbe paramétrée associée. On dit que $C$ admet une branche infinie lorsque $t$ tend vers $t_0$, où $t_0$ est une extrémité de $I$, si $$\lim_{t\to t_0}\|f(t)\|=+\infty.$$
Notons $f(t)=(x(t),y(t))$. Les branches infinies généralement rencontrées sont de l'une des formes suivantes :
  • Si $\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty$ et $\lim_{t\to t_0}x(t)=a$, alors la courbe paramétrée possède une asymptote verticale d'équation $x=a$.
  • Si $\lim_{t\to t_0}y(t)=b$ et $\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty$ alors la courbe paramétrée possède une asymptote horizontale d'équation $y=b$.
  • Si $\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty$ et $\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty$, alors on s'intéresse à la quantité $a=\lim_{t\to t_0}\frac{y(t)}{x(t)}$ :
    • Si $a=\pm\infty$, alors la courbe paramétrée $C$ possède une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
    • Si $a=0$, alors la courbe paramétrée $C$ possède une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

    • Si $a\in\mathbb R$, alors on s'intéresse, si elle existe, à $b=\lim_{t\to t_0}y(t)-ax(t)$.
      • Si $b=\pm\infty$, alors la courbe paramétrée $C$ possède une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation $y=ax$.
      • Si $b$ existe et est fini, alors la courbe paramétrée $C$ possède une asymptote d'équation $y=ax+b$. De plus, le signe de $y(t)-(ax(t)+b)$ au voisinage de $t_0$ donne la position de la courbe par rapport à son asymptote.
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