$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Bosses glissantes

  On construit une suite de fonctions (fn) définies sur [0,1] en plusieurs étapes :
  • à la première étape, on construit une seule fonction f1, qui est identiquement égale à 1.
  • à la deuxième étape, on coupe [0,1] en 2, et on fabrique 2 fonctions f2 et f3 : f2 vaut 1 sur [0,1/2] et 0 ailleurs, f3 vaut 1 sur [1/2,1] et 0 ailleurs.
  • à la troisième étape, on coupe [0,1] en 4, et on construit 4 fonctions f4, f5, f6 et f7. f4 vaut 1 sur [0,1/4], et 0 ailleurs, f5 vaut 1 sur [1/4,1/2], et 0 ailleurs, etc...
  • ainsi, à la n-ième étape, on construit 2n+1 fonctions, chacune valant 1 sur un intervalle de taille 1/2n+1, et 0 ailleurs.
  La suite ainsi obtenue s'appelle suite des bosses glissantes. Elle est à l'origine de nombreux contre-exemples, comme celui-ci : (fn) converge en moyenne vers 0 (ce qui signifie que la suite des intégrales de fn tend vers 0), alors qu'elle ne converge simplement en aucun point.
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