$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonctions et ensembles bornés

Fonctions et suites :
  Soit f:E->R une fonction.
  • f est majorée si f(x)M pour tout E de U. On dit alors que M est un majorant de f.
  • f est minorée si f(x)m pour tout E de U. On dit alors que m est un minorant de f.
  • f est bornée si f est minorée et majorée.
On a les mêmes définitions pour une suite.

Partie de R :
  Une partie A de R est :
  • majorée s'il existe M tel que, pour tout x de A, xM.
  • minorée s'il existe m tel que, pour tout x de A, xm.
  • bornée si elle est majorée et minorée.
Ex : A={x de R; il existe n entier avec x=n2-n}.

A est minorée par 0, et A n'est pas majorée. En effet, si A était majorée par M, pour tout entier n2 :

Mn2-nn(n-1)n.

Ceci est impossible, car N n'est pas majoré!

  Si A est une partie majorée, il existe en général plusieurs majorants. Il en existe un plus important que tous les autres : c'est la borne supérieure.

Définition : Si A est une partie majorée de R, on appelle borne supérieure de A l'unique réel s tel que :
  • s majore A.
  • Si M est un majorant de A, sM.

La borne supérieure est donc le plus petit des majorants. Son existence n'est pas évidente, elle est même intimement liée à la construction de R. La borne supérieure est caractérisée par la propriété suivante :

Proposition : Soit A une partie majorée de R, et s un réel. Alors s est la borne supérieure de A si et seulement si :
  • pour tout x de A, xs.
  • pour tout a>0, il existe x dans A tel que s-axs.

On définit de même une borne inférieure pour les ensembles minorés :

Définition : Si A est une partie minorée de R, on appelle borne inférieure de A l'unique réel t tel que :
  • t minore A.
  • Si m est un minorant de A, mt.
La borne inférieure est le plus grand des minorants!

Exemple : A={1/n; n entier naturel non nul}. A est borné, sa borne supérieure est 1 (atteinte!), sa borne inférieure est 0 (non atteinte).