$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Matrice bordante

  Soit $M$ une matrice carré de taille $n$ dont les coefficients sont notés $(m_{i,j})_{i,j=1,\dots,n}$. Soit $A$ une matrice extraite de $A$ de taille $r$, c'est-à-dire une matrice dont les coefficients sont $(m_{i,j})_{i\in I,\ j\in J}$, où $I,J$ sont des parties de $\{1,\dots,n\}$ de cardinal $r$. On appelle matrice bordante de $A$ relativement à $M$ toute matrice dont les coefficients sont $(m_{i,j})_{i\in K,\ j\in L}$ où $K,L$ sont des parties de $\{1,\dots,n\}$ de cardinal $r+1$ telles que $K$ contienne $I$ et $L$ contienne $J$.

Exemple : Considérons la matrice $M$ d'ordre $4$ et la matrice extraite $A$ d'ordre 2 suivantes : $$M=\left( \begin{array}{cccc} 1&-1&3&7\\ 0&2&4&6\\ 3&2&-5&0\\ 9&-8&-4&1 \end{array} \right),\ A=\left( \begin{array}{cc} 1&-1\\ 0&2 \end{array} \right).$$ Alors il y a 4 matrices bordantes de $A$ relativement à $M$ qui sont données par : $$\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&3\\ 0&2&4\\ 3&2&-5\\ \end{array} \right),\ \left( \begin{array}{ccc} 1&-1&3\\ 0&2&4\\ 9&-8&-4\\ \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7\\ 0&2&6\\ 3&2&0\\ \end{array} \right),\ \left(\begin{array}{ccc} 1&-1&7\\ 0&2&6\\ 9&-8&1\\ \end{array} \right).$$

  Les matrices bordantes permettent (au moins théoriquement) de déterminer le rang d'une matrice.
Théorème : Une matrice $M$ est de rang $r$ si et seulement si elle admet une matrice extraite $A$ d'ordre $r$ dont le déterminant est non nul, et telle que tous ses déterminants bordants (c'est-à-dire les déterminants des matrices bordantes de $A$) sont nuls.