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Bibm@th

Bourse et mathématiques

  Avez-vous déjà vu ces publicités des banques : "Gagner jusqu'à +20% de la hausse de la bourse, et votre capital est garanti". Le miracle de ces offres est à rechercher du côté des options financières. Une option d'achat (resp. de vente) sur un produit (ou un actif) de prix d'exercice C et d'échéance T est un contrat qui permet (mais n'oblige pas) d'acheter (resp. de vendre) ce produit au prix C à l'échéance T.

  Les options peuvent par exemple être utilisées en vue de la constitution d'une épargne : supposons par exemple que vous êtes lecteur assidu de la Vie Financière et des Echos. Une longue analyse du contexte économique vous a convaincu que dans les prochains mois le dollar va fortement s'apprécier face à l'euro. Les options d'achat sont une solution pour vous faire profiter de vos intuitions en limitant les risques. Vous achetez à l'instant t=0 q options d'achat de 1 dollar, au prix d'exercice de C euros pour 1 dollar. A l'échéance T de l'option, si un dollar vaut C' euros, vous décidez :
  • de ne rien faire si C'< C : il faut toujours se méfier de ses intuitions, et grâce à l'option, pas de casse!
  • d'exercer l'option si C'>C : vous avez alors en poche q dollars, que vous vendez immédiatement sur le marché au comptant. Vous avez ainsi réalisé une plus-value de q×(C'-C) euros, en spéculant sur la hausse du dollar.
  Bien sûr, cette option doit avoir un coût pour que la banque accepte de la proposer. Mais comment évaluer le prix de cette option?

  Myron Scholes et Fisher Black ont donné la réponse à cette question : ils donnent le juste prix d'une option d'achat d'une action, à l'échéance de T années, et à prix d'exercice C. Les hypothèses simplificatrices suivantes sont faites :
  • il n'y a pas de frais liés à l'achat ou à la vente d'actions (hypothèse bien sûr fausse), et ces transactions se font au comptant.
  • l'action sous-jacente ne distribue aucun dividende durant la durée de vie de l'option (possible).
  • le taux d'intérêt est invariant au cours du temps (juste si l'option est à courte échéance) et le taux d'intérêt mathématique vaut r : ceci signifie qu'un euro placé durant t années rapporte ert euros.
  • le rendement instantané de l'action est aléatoire (un jour elle progresse de 2,3%, le lendemain elle recule de 1,7%). En revanche, l'écart-type de ce rendement est constant dans le temps. On appelle cette quantité la volatilité de l'action, et on la note . On peut l'évaluer par exemple grâce à une analyse statistique des dernières cotations. Intuitivement, une action "père de famille" aura une volatilité faible, et une action très spéculative une volatilité forte.
  Si l'action cote initialement C0 euros, le prix de l'option est alors :
$$F(x)=\int_{-\infty}^x e^{-v^2/2}\frac{dv}{\sqrt{2\pi}}.$$   $F$ représente la fonction de répartition de la loi normale.

Cette formule, et d'autres considérations de mathématiques financières, valut à Myron Scholes et à son inspirateur Robert Merton le prix Nobel d'économie en 1997. Fisher Black ne put le recevoir, étant décédé quelques années auparavant.