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Théorème ergodique de Birkhoff

  Le théorème ergodique de Birkhoff est un théorème de la théorie des systèmes dynamiques qui permet de comparer la moyenne orbitale, ou temporelle, d'une fonction $f$ et sa moyenne spatiale.

Théorème : Soit $(X,\mathcal B,\mu)$ un espace mesuré et $T:(X,\mathcal B,\mu)\to(X,\mathcal B,\mu)$ une transformation mesurable. On suppose que $\mu$ est finie et $T$-invariante, c'est-à-dire que pour tout $A\in\mathcal B$, $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$. Alors, pour toute fonction $f\in L^1(X,\mu)$, les moyennes $$\frac 1n\sum_{k=1}^n f\circ T^k(x)$$ convergent presque partout, et dans $L^1(\mu)$, vers une fonction $g\in L^1(\mu)$ qui vérifie :
  • $g\circ T=g$, $\mu$-presque partout;
  • $\|g\|_1=\|f\|_1$;
  • pour tout $A\in\mathcal B$ tel que $\mu(T^{-1}A\Delta A)=0$, on a $\int_A g(x)dx=\int_A f(x)dx$.
Si on suppose de plus que $T$ est $\mu$-ergodique, alors la fonction $g$ est constante et vaut $\int_X f(x)dx$.
En particulier, pour une transformation ergodique, les moyennes orbitales tendent vers la moyenne spatiale. Les orbites de $T$ remplissent donc bien l'espace $X$, relativement à $\mu$.
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