Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Les mathématiciens ont toujours été fasciné par les équations algébriques dont on cherche des solutions qui sont des nombres entiers ou des nombres rationnels. C'est par exemple Euclide qui le premier a décrit toutes les solutions en nombres entiers de l'équation $$x^2+y^2=z^2.$$ En divisant par $z^2$ de chaque côté, cela revient en fait à chercher les points à coordonnées rationnelles sur un cercle.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est reliée au nombre de points à coordonnées rationnelles d'un autre type de courbe, les courbes elliptiques. A chaque courbe elliptique on peut associer une fonction baptisée fonction $L$ de la courbe elliptique. La conjecture, formulée en 1965, prédit que l'ordre d'annulation de la fonction $L$ en $s=1$ est exactement l'ordre de la courbe. En particulier, la courbe admet une infinité de points rationnels si et seulement si $L(1)=0$.

Il s'agit bien entendu d'une conjecture extrêmement technique dont seuls les professionnels peuvent comprendre la signification profonde! C'est un problème si important qu'il figure parmi les 7 problèmes du millénaire identifié par l'institut Clay. Sa résolution est primée 1 million de dollars.