$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Birapport et projection centrale

Birapport
  Le birapport ou rapport anharmonique de 4 points I,J,A,B, pris dans cet ordre, et situés sur un même axe orienté, est la quantité :
Il est noté [I,J,A,B]. Lorsque le birapport [I,J,A,B] vaut -1, on dit que les 4 points forment une division harmonique, ou encore que I est conjugué de J par rapport à A,B.
  Le rapport anharmonique de quatre droites concourantes est celui des quatre points d'intersection de ces droites par une sécante quelconque (c'est une quantité indépendante de la sécante!). Si le birapport vaut -1, on dit que les 4 droites forment un faisceau harmonique.
  On peut encore définir le birapport de 4 points sur une conique : si A,B,C,D sont quatre points situés sur un même cercle, voire sur une même conique, et si O est un point de cette conique, le birapport des 4 droites joignant O à A,B,C,D est indépendant du point O choisi; c'est ce birapport qu'on appelle birapport des 4 points A,B,C,D. Si le birapport des 4 points est égal à -1, on dit qu'ils forment un quadrangle harmonique.

Projection centrale
  Etant donné un point S de l'espace, et un plan P ne contenant pas S, la projection centrale de sommet S est la transformation qui, à tout point M autre que S, fait correspondre l'intersection de la droite (SM) et du plan P. Une projection centrale conserve le birapport de 4 points.

Construction du conjugué harmonique
  Soient A,B,J alignés, on cherche à construire un point I tel que [I,J,A,B]=-1. Pour ce faire, soit un point D du plan qui n'est pas sur la droite, et on construit les droites (AD) et (BD). On considère une droite passant par J qui coupe (AD) en F et (BD) en G. Les droites (AG) et (BF) se coupent alors en H. L'intersection de (DH) avec la droite (AB) est alors le point I cherché.