$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Règles de Bioche

Les règles de Bioche sont des règles pour calculer des intégrales de fractions rationnelles en sinus et cosinus, en les ramenant à des intégrales de fractions rationnelles. Précisément, posons $w(x)=F(x)dx$ l'intégrande (avec l'élément différentiel). Alors,

  • si $w(-x)=w(x)$, on pose $t=\cos x$.
  • si $w(\pi-x)=w(x)$, on pose $t=\sin x$.
  • si $w(\pi+x)=w(x)$, on pose $t=\tan x$.

Si deux des trois propriétés précédentes sont vraies (dans ce cas la troisième est automatiquement vraie), alors on peut aussi poser $t= \cos(2x).$ Enfin, si aucune des propriétés n'est vérifiée, on pose $t=\tan(x/2).$

Exemple : Soit à calculer l'intégrale $$I=\int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(x)}{1+\cos^2 x}dx.$$ Avec les notations précédentes, on a $$w(x)=\frac{\sin^3(x)}{1+\cos^2 x}dx.$$ qui vérifie $$w(-x)=w(x)$$ On pose donc $t=\cos x$, de sorte que $$\sin^3 x=(\sin^2)\sin xdx=-(1-t^2)dt.$$ Le calcul donne alors : $$\begin{align*} I&=\int_{\sqrt 2/2}^1\frac{1-t^2}{1+t^2}dt\\ &=-\int_{\sqrt 2/2}^1 dt+\int_{\sqrt 2/2}^1\frac 2{1+t^2}dt\\ &=-1+\frac{\sqrt 2}2+\frac\pi 2-2\arctan(\sqrt 2/2). \end{align*}$$

Bioche était professeur en classes de Mathématiques Spéciales au Lycée Louis-le-Grand.
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