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Théorème de Bézout

Le théorème de Bézout est un théorème de géométrie algébrique qui permet de connaitre le nombre, ou au moins une majoration du nombre, de points d'intersections de deux courbes. En voici une version faible :

Théorème de Bézout (forme faible) : Soit $\mathbb K$ un corps infini et soit $P,Q\in \mathbb K[X,Y]$ deux polynômes de degrés respectifs $m$ et $n$. On suppose de plus que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux. Alors les courbes $\gamma_p=\{(x,y)\in\mathbb K^2;\ P(x,y)=0\}$ et $\gamma_Q=\{(x,y)\in\mathbb K^2;\ Q(x,y)=0\}$ ont au plus $m\times n$ points d'intersection.

C'est un théorème qu'on peut facilement illustrer pour des courbes planes. Par exemple, une droite (de degré 1) coupe un cercle (de degré 2) en au plus deux points. Mais cela peut être aussi 1 ou 0 points. Pour obtenir une égalité dans le résultat précédent, il faut travailler dans un corps algébriquement clos, tenir compte des multiplicités et du fait que l'intersection peut se faire "à l'infini" (imaginer deux droites parallèles). Ainsi, on doit travailler avec des courbes projectives, et donc des polynômes homogènes.

Théorème de Bézout (forme forte) : Soit $\mathbb K$ un corps algébriquement clos et soit $P_1,\dots,P_n$ $n$ polynômes homogènes de $\mathbb K[X_0,\dots,X_{n+1}]$. On suppose que les courbes $C_i=\{(x_0,\dots,x_n);\ P_i(x_0,\dots,x_n)=0\}$ n'ont pas de composantes communes. Alors elles se coupent en exactement $\deg(P_1)\times\cdots\times\deg(P_n)$ points.
Les premières versions de ces théorèmes sont dues à Étienne Bézout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques paru en 1779.
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