$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Identité de Bachet-Bézout

Pour les entiers
Théorème : Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
  Les entiers $u$ et $v$ ne sont pas uniques. Si $(u_0,v_0)$ est un couple de solutions, l'ensemble des solutions est donné par les couples $(u_0+kb,v_0-ka)$ où $k$ parcourt $\mathbb Z$. La recherche d'une solution particulière peut être très importante, par exemple pour résoudre une équation de congruence ou chercher l'inverse d'un élément dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$. L'algorithme d'Euclide étendu en fournit un moyen très efficace.

Pour les polynômes
  Le théorème précédent n'est pas spécifique aux entiers. Il peut être appliqué avec des polynômes :
Théorème : Soit $P$ et $Q$ deux polynômes de $\mathbb K[X]$. Alors $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si et seulement s'il exite deux polynômes $U$ et $V$ tels que $AU+BV=1.$
Plus généralement, l'identité de Bézout caractérise deux éléments premiers entre eux dans un anneau principal. Un anneau vérifiant la propriété du théorème est appelé anneau de Bézout.

Les théorèmes précédents sont parfois simplement appelés "théorème de Bézout". Pourtant, sa version concernant les entiers relatifs apparait pour la première fois en 1612 dans les commentaires de la traduction latine de l'Arithmétique de Diophante, rédigée par Bachet (cette même édition en marge duquel Fermat formula son célèbre théorème). Etienne Bézout a lui énoncé le théorème pour les entiers et pour les polynômes plus d'un siècle plus tard, en 1764.
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