Identité de Bachet-Bézout
Pour les entiers
Théorème :
Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$.
Les entiers $u$ et $v$ ne sont pas uniques. Si $(u_0,v_0)$ est un couple de solutions, l'ensemble des solutions est donné
par les couples $(u_0+kb,v_0-ka)$ où $k$ parcourt $\mathbb Z$.
La recherche d'une solution particulière peut être très importante, par exemple pour résoudre une équation de congruence
ou chercher l'inverse d'un élément dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
L'algorithme d'Euclide étendu en fournit un moyen très efficace.
Pour les polynômes
Le théorème précédent n'est pas spécifique aux entiers. Il peut être appliqué avec des polynômes :
Théorème : Soit $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb K[X]$. Alors $A$ et $B$ sont premiers entre eux si et seulement s'il exite deux polynômes
$U$ et $V$ tels que $AU+BV=1.$
Plus généralement, l'identité de Bézout caractérise deux éléments premiers entre eux dans un anneau principal. Un anneau vérifiant la propriété du théorème est appelé anneau de Bézout.

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