Identité de Bachet-Bézout et théorème de Bézout
L'identité de Bachet-Bézout est un résultat d'arithmétique qui dit que le pgcd de deux entiers $a$ et $b$ peut s'exprimer sous la forme $au+bv$ avec $u$ et $v$ des entiers.
Le théorème de Bézout donne une réciproque à cette propriété lorsque $d=1$, c'est-à-dire que les entiers sont premiers entre eux.
Les entiers $u$ et $v$ ne sont pas uniques. Si $(u_0,v_0)$ est un couple de solutions, l'ensemble des solutions est donné par les couples $(u_0+kb,v_0-ka)$ où $k$ parcourt $\mathbb Z$. La recherche d'une solution particulière peut être très importante, par exemple pour résoudre une équation de congruence ou chercher l'inverse d'un élément dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$. L'algorithme d'Euclide étendu en fournit un moyen très efficace.
Le théorème précédent n'est pas spécifique aux entiers. Il peut être appliqué avec des polynômes :
Plus généralement, l'identité de Bézout caractérise deux éléments premiers entre eux dans un anneau principal. Un anneau vérifiant la propriété du théorème est appelé anneau de Bézout.