$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Inégalité de Bessel

  Soit E un espace préhilbertien dont le produit scalaire est noté (.|.). Soit (en)n>=0 une famille orthonormale de E. Alors pour tout x de E, la série converge et on a l'inégalité de Bessel :
De plus, si la famille est totale (c'est-à-dire que l'espace vectoriel qu'elle engendre est dense), alors l'inégalité précédente est en fait une égalité, nommée égalité de Parseval-Bessel :

  Le cas particulier le plus fréquent est celui où E est l'espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle [0,2pi], muni du produit scalaire
On prend pour famille (en) les fonctions en(x)=einx (n peut parcourir Z). Ceci est une famille orthonormée de E qui de plus est totale d'après le théorème de Féjer. Ainsi, si on note cn(f) le n-ième coefficient de Fourier de f, on a :

  La preuve de l'inégalité de Bessel n'est pas difficile. On utilise le fait que la projection du vecteur x sur l'espace vectoriel engendré par les e0,...,eN a pour forme :
Ensuite, le théorème de Pythagore dit que
On en déduit
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