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Paradoxe de Bertrand

  Le paradoxe de Bertrand est un paradoxe (apparent) de la théorie des probabilités énoncé pour la première fois en 1889 par Joseph Bertrand dans son ouvrage Calcul des probabilités. Il consiste en le problème suivant : étant donné un cercle de rayon 1, quelle est la probabilité qu'une corde choisie au hasard soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit, c'est-à-dire $\sqrt 3$? Bertrand proposait trois solutions :
  • Solution 1 : les extrémités sont aléatoires. On fixe un point sur le cercle (qui sera une extrémité de la corde) et le triangle équilatéral inscrit dont un sommet est ce point. On choisit aléatoirement et de façon uniforme l'autre extrémité de la corde sur le cercle. La corde obtenue sera plus longue si le point choisi est situé sur l'arc reliant les deux autres sommets du triangle, et plus courte sinon. Comme cet arc a pour longueur 1/3 de la longueur du cercle, la probabilité recherchée vaut 1/3.
  • Solution 2 : la corde est perpendiculaire à un rayon fixé. On fixe un rayon du cercle et un triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. Remarquons que le côté coupe le rayon en son milieu. On choisit alors une corde aléatoire en choisissant au hasard, et de façon équiprobable, un point sur ce rayon et en considérant la corde perpendiculaire à ce rayon passant par ce point. La corde est plus longue que le côté du triangle si et seulement si le point choisi est entre le centre du cercle et le point d'intersection du rayon et du côté du triangle. Comme ce point est au milieu du rayon, la probabilité recherchée vaut 1/2.
  • Solution 3 : le milieu est choisi au hasard : on choisit un point $M$ au hasard et uniformément à l'intérieur du cercle de centre $A$, et on trace "la" corde du cercle dont le point $M$ est le milieu. Cette corde est donnée par la perpendiculaire à $AM$ passant par $M$. Par le théorème de Pythagore, sa longueur est $2\sqrt{1^2-AM^2}$. Ceci est supérieur ou égal à $\sqrt 3$ si et seulement si $AM\leq 1/2$, c'est-à-dire si et seulement si $AM\leq 1/2$. Le disque de rayon 1/2 ayant une aire valant 1/4 de l'aire du disque de rayon 1, la probabilité recherchée vaut 1/4.
  Ce paradoxe met en évidence que l'expression "choisir une corde au hasard" n'a pas de sens en soi puisqu'il peut conduire à trois calculs de probabilité différents pour le même événement. Il faut préciser la méthode adoptée pour choisir la corde au hasard. Une fois ce modèle précisé, le calcul de la probabilité est parfaitement défini.
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