$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Paradoxe de Berry

  Le paradoxe de Berry est un paradoxe de théorie des ensembles qui s'énonce de la façon suivante :
Soit $n$ l'entier défini par la phrase suivante : "$n$ est le plus petit entier qui ne peut pas être décrit par une phrase comprenant plus de trente mots".
Cette phrase semble parfaitement définir un entier $n$. Mais elle comporte vingt mots, soit moins que trente. Ainsi, on a défini un entier $n$ à partir d'une phrase comprenant moins de trente mots, ce qui contredit la définition même de $n$!!!

  On est ici très proche des paradoxes d'autoréférence, tel le paradoxe du menteur. Le paradoxe de Berry vient du sens imprécis que l'on donne au mot "définir". Il faut distinguer le langage mathématique, formalisé, celui dans lequel sont définis les entiers, du méta-langage, dans laquelle est formulée la phrase de Berry.

Ce paradoxe a été énoncé par Bertrand Russell en 1906, alors qu'il cherchait une formulation "finie" du paradoxe de Richard formulé un an plus tôt. Il attribue cette définition paradoxale à un bibliothécaire londonien, G. G. Berry.
Consulter aussi...