$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème de Berry-Esséen

  Soit (Xn) une suite de variables aléatoire indépendantes identiquement distribuées, admettant une espérance et une variance. On pose :
D'après le théorème limite central, la suite (Yn) converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Le théorème de Berry-Esséen permet de majorer préciser l'erreur commise en remplaçant la fonction de répartition de Yn par celle de la loi normale.

Théorème : Soit (Xn) une suite de variables indépendantes identiquement distribuées, admettant des moments jusqu'à l'ordre 3.. On pose :
Soit Fn la fonction de répartition de Yn, Fn(x)=P(Yn<x) et soit F la fonction de répartition d'une variable aléatoire normale centrée réduite. Alors, pour tout x de R, on a :

Le théorème de Berry-Esséen a été découvert indépendamment par les mathématiciens Andrew Berry en 1941 et Carl-Gustav Esséen en 1942, avec une constante moins bonne que 0,7056. Cette constante est due à Irina Shevtsova en 2006.
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