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Nombres et polynômes de Bernoulli

Définition : La suite (Bn) des polynômes de Bernoulli est la suite de polynômes définie par récurrence de la façon suivante :

  • B0=1.
  • Pour tout entier n>0, Bn'=nBn-1, et .
La suite (bn) des nombres de Bernoulli est alors définie par bn=Bn(0).
  Les nombres de Bernoulli jouent, selon Jean Dieudonné, un des grands mathématiciens du XXiè siècle, "un rôle important et assez mystérieux dans des parties aussi diverses des mathématiques que l'analyse, la théorie des nombres et la topologie différentielle". Par exemple, les nombres et polynômes de Bernoulli interviennent dans les valeurs aux entiers pairs de la fonction Zeta
dans des développements en série
ou encore dans la formule d'Euler-Mac Laurin.
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