$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Base de numération

  Depuis l'antiquité, les hommes ont essayé de représenter les nombres entiers par des symboles. Il existe essentiellement deux grands principes :
  1. chaque symbole possède une valeur, et on ajoute ces valeurs pour obtenir le nombre. Le système de numération des romains repose essentiellement sur ce principe (XXXII=32), avec en plus un aspect soustractif (IX=9).
  2. on utilise un nombre petit de symboles (les chiffres) dont la valeur dépend de la position. Chaque décalage vers la gauche du symbole le multiplie par une certaine quantité appelée la base. Par exemple, en écriture décimale 2345 signifie 5+4×10+3×100+2× 1000.
Le second système possédant de nombreux avantages par rapport au premier, notamment pour effectuer les opérations, c'est lui qui s'est peu à peu imposé. Nous utilisons actuellement le système décimal (la base est 10) mais ce ne fut pas toujours le cas. Les babyloniens utilisaient un système sexagésimal, ce qui signifie que la base était 60. C'est pourquoi une minute fait 60 secondes! Certaines unités anglo-saxonnes sont encore fondées sur la base 12. Surtout, en informatique, les base 2 (écriture binaire), base 8 (écriture octale) et base 16 (écriture hexadécimale, où les chiffres représentant 11,12,...15, sont notés A,B,...,F) sont devenues très courantes.

Proposition (écriture en base a) : Soit a un entier naturel supérieur ou égal à 2, et soit m un entier naturel. Alors il existe un unique entier naturel p et une unique liste de (p+1) éléments tels (x0,...,xp) appartenant à {0,...,p-1} tels que
  Pour obtenir l'écriture en base a d'un entier naturel m, on applique l'algorithme suivant : on divise m par a, puis le quotient ainsi obtenu par a, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un quotient nul; les restes successifs donnent, de droite à gauche, les chiffres de l'écriture en base a de m.

  Le petit programme suivant permet de convertir une écriture d'une base vers une autre...

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