$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Base hilbertienne

  La notion de base hilbertienne est l'analogue, pour les espaces de Hilbert, de la notion de base pour les espaces euclidiens (donc de dimension finie).
Définition : Soit $H$ un espace de Hilbert et $(e_n)$ une suite d'éléments de $H$. On dit que $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$ si
  • la suite est orthonormale : pour tout $n\neq m$, on a $\langle e_n,e_m\rangle=0$ et $\|e_n\|=1$;
  • la suite est totale : l'espace vectoriel engendré par les $e_n$ est dense dans $H$.
  Si la suite $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$, alors il existe une unique suite $(x_n)$ de réels telle que $$x=\sum_{n\geq 0}x_n e_n.$$ De plus, on sait que $x_n=\langle x,e_n\rangle$.   Les calculs dans une base hilbertienne se font comme avec une base orthonormale, par exemple si $$x=\sum_{n\geq 0}x_n e_n\text{ et }y=\sum_n y_ne_n,$$ alors $$\langle x,y\rangle=\sum_{n\geq 0}x_n y_n.$$
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