$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Barycentre

  Soient A1,...,An n points de l'espace, et x1,..., xn n nombres réels. On tote m=x1+...+xn la masse totale du système, qu'on suppose non nulle. Alors il existe un unique point G tel que :
  Ce point G est appelé barycentre des points A1,...,An affectés des coefficients x1,..., xn. En outre, pour tout point M, on a :
  Cette dernière relation permet, dans un repère, de calculer les coordonnées du point G connaissant celles des Ai. Lorsque tous les coefficient xi sont égaux, on dit que le point G est l'isobarycentre des points A1,...,An. Pour deux points A et B, l'isobarycentre est le milieu de [AB]. Pour 3 points non alignés A,B,C, l'isobarycentre est le centre de gravité du triangle ABC.

  Une propriété fondamentale est l'associativité du barycentre. Supposons que G soit le barycentre de (A,1), (B,2), (C,3). Nous introduisons I le barycentre de (A,1) et (B,2). Alors G est le barycentre de (I,3), (C,3), autrement dit G est le milieu de [IC]. On ne change donc pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme non nulle des coefficients correspondants (ouf!).