$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Barycentre

Dans le plan

Soient $A_1,\dots,A_n$ $n$ points du plan, et $x_1,\dots,x_n$ $n$ nombres réels. On note $m=x_1+\cdots+x_n$ la masse totale du système, qu'on suppose non nulle. Alors il existe un unique point $G$ tel que :

Ce point $G$ est appelé barycentre des points $A_1,\dots,A_n$ affectés des coefficients $x_1,\dots,x_n$. En outre, pour tout point $M$ du plan, on a :

Cette dernière relation permet, dans un repère, de calculer les coordonnées du point $G$ connaissant celles des $A_i$. Lorsque tous les coefficient $x_i$ sont égaux, on dit que le point $G$ est l'isobarycentre des points $A_1,\dots,A_n$. Pour deux points $A$ et $B$, l'isobarycentre est le milieu de $[AB]$. Pour 3 points non alignés $A,B,C$, l'isobarycentre est le centre de gravité du triangle $ABC$.

Une propriété fondamentale est l'associativité du barycentre. Supposons que $G$ soit le barycentre de $(A,1), (B,2), (C,3)$. Nous introduisons $I$ le barycentre de $(A,1)$ et $(B,2)$. Alors $G$ est le barycentre de $(I,3)$, $(C,3)$, autrement dit $G$ est le milieu de $[IC]$. On ne change donc pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme non nulle des coefficients correspondants (ouf!)

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Dans un espace affine

Les définitions et résultats précédents, énoncés dans le cadre du plan, se généralisent facilement à tout espace affine $E$.

Théorème et définition : Soit $n\geq 2$ et soient $A_1,\dots,A_n$ des points de $E$, et $a_1,\dots,a_n$ des réels de masse totale $m=\sum_{i=1}^n a_i$ non nulle.
  • Il existe un unique point $G$, appelé \textbf{barycentre} du système de points pondérés $(A_i,a_i)_{i=1,\dots,n}$ , tel que $$\sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{GA_i}=\vec{0}.$$
  • Pour tout point $O$ de $E$, on a $$\sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{OA_i}=\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\overrightarrow{OG}.$$

Le théorème fondamental d'associativité du barycentre a alors l'énoncé suivant :

Théorème (associativité du barycentre) : On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non-nulle) des coefficients correspondants.

Autrement dit, si $G$ est le barycentre de $(A_1,a_1),\dots,(A_n,a_n)$ et si $H$ est le barycentre de $(A_1,a_1),\dots,(A_p,a_p)$ avec $p\leq n$, alors $G$ est le barycentre de $(H,a_1+\dots+a_p),(A_{p+1},a_{p+1}),\dots,(A_n,a_n)$.