Barrières - pièges - entonnoirs
On considère y'=f(x,y) une équation différentielle de domaine U, I un intervalle ouvert, et u:I->R une fonction de classe C1 tel que (x,u(x)) soit dans U pour tout x de I :
- Si u'(x)
f(x,u(x)) pour tout x de I, on dit que u est une barrière supérieure pour l'équation différentielle.
- Si u'(x)
f(x,u(x)) pour tout x dans I, on dit que u est une barrière inférieure pour l'équation différentielle.
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En tout point de la courbe y=u(x), la pente du champ est plus petite que celle de la tangente. Si une solution est sous la barrière en x0, elle a tendance à rester dessous pour un x supérieur à x0, car sa dérivée en x0 est inférieure à la tangente en x0. |
En tout point de la courbe y=u(x), la pente du champ est supérieure à celle de la tangente. Si une solution est au-dessus de la barrière en x0, elle a tendance à rester au-dessus pour un x supérieur à x0, car sa dérivée en x0 est supérieure à la tangente en x0. |
Théorème :
Une configuration particulièrement intéressante est la suivante :
- Toute solution qui est sous une barrière supérieure en x0 reste sous cette barrière pour x>x0.
- Toute solution qui est au-dessus d'une barrière inférieure en x0 reste au-dessus de cette barrière pour x>x0.
- u est une barrière inférieure définie sur I.
- v est une barrière supérieure définie sur I.
- u(x)
v(x) si x est dans I.






Ex : y'=y2(1-2xy), f(x,y)=y2(1-2xy). v(x)=1/X est une barrière inférieure, u(x)=1/2x est une barrière inférieure.

- u est une barrière inférieure définie sur I.
- v est une barrière supérieure définie sur I.
- v(x)
u(x) si x est dans I.

