$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Barrières - pièges - entonnoirs

Soit $y'=f(x,y)$ une équation différentielle, avec $f:U\subset\mathbb R^2\to \mathbb R$, $I$ un intervalle ouvert, et $u:I\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ tels que $(x,u(x))\in U$ pour tout $x\in I$.

  • Si $u'(x)\geq f(x,u(x))$ pour tout $x\in I$, on dit que $u$ est une barrière supérieure pour l'équation différentielle.
  • Si $u'(x)\leq f(x,u(x))$ pour tout $x\in I$, on dit que u est une barrière inférieure pour l'équation différentielle.

En tout point de la courbe $y=u(x)$, la pente du champ est plus petite que celle de la tangente. Si une solution est sous la barrière en $x_0$, elle a tendance à rester dessous pour $x\geq x_0$ car sa dérivée en $x_0$ est inférieure à la tangente en $x_0$.

En tout point de la courbe $y=u(x)$, la pente du champ est supérieure à celle de la tangente. Si une solution est au-dessus de la barrière en $s_0$, elle a tendance à rester au-dessus pour $x\geq x_0$ car sa dérivée en $x_0$ est supérieure à la tangente en $x_0$.
Théorème :
  • Toute solution qui est sous une barrière supérieure en $x_0$ reste sous cette barrière pour $x>x_0$.
  • Toute solution qui est au-dessus d'une barrière inférieure en $x_0$ reste au-dessus de cette barrière pour $x>x_0$.

Une configuration particulièrement intéressante est la suivante :

  • $u$ est une barrière inférieure définie sur I.
  • $v$ est une barrière supérieure définie sur I.
  • $u(x)\leq v(x)$ si $x$ est dans $I$.

Alors, si f est une solution tel que $u(x_0)\leq f(x_0) \leq v(x_0)$, alors pour tout $x\geq x_0$, on a $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$. On dit que la partie $A=\{(x,y)\in I\times\mathbb R: u(x)\leq y\leq v(x)\}$ est un piège ou un entonnoir : toute solution qui y est y reste!

Ex : $y'=y^2(1-2xy)$), $f(x,y)=y^2(1-2xy)$. Alors $v(x)=1/x$ est une barrière supérieure, $u(x)=1/2x$ est une barrière inférieure.

ne autre configuration intéressante est la suivante :

  • $u$ est une barrière inférieure définie sur $I$.
  • $v$ est une barrière supérieure définie sur $I$.
  • $v(x)\leq u(x)$ si $x\in I$.

Dans ce cas, la partie $A=\{(x,y)\in I\times\mathbb R: u(x)\leq y\leq v(x)\}$ est appelé un anti-entonnoir. Une solution a tendance à sortir d'un anti-entonnoir. Toutefois, on démontre le théorème suivant, dit de l'anti-entonnoir : si la borne supérieure de $I$ est $+\infty$, il existe une solution, et une seule, qui reste toujours dans l'anti-entonnoir.

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