$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Equations différentielles >

Barrières - pièges - entonnoirs


  On considère y'=f(x,y) une équation différentielle de domaine U, I un intervalle ouvert, et u:I->R une fonction de classe C1 tel que (x,u(x)) soit dans U pour tout x de I :

  • Si u'(x)f(x,u(x)) pour tout x de I, on dit que u est une barrière supérieure pour l'équation différentielle.
  • Si u'(x)f(x,u(x)) pour tout x dans I, on dit que u est une barrière inférieure pour l'équation différentielle.


En tout point de la courbe y=u(x), la pente du champ est plus petite que celle de la tangente. Si une solution est sous la barrière en x0, elle a tendance à rester dessous pour un x supérieur à x0, car sa dérivée en x0 est inférieure à la tangente en x0.
En tout point de la courbe y=u(x), la pente du champ est supérieure à celle de la tangente. Si une solution est au-dessus de la barrière en x0, elle a tendance à rester au-dessus pour un x supérieur à x0, car sa dérivée en x0 est supérieure à la tangente en x0.
Théorème :
  • Toute solution qui est sous une barrière supérieure en x0 reste sous cette barrière pour x>x0.
  • Toute solution qui est au-dessus d'une barrière inférieure en x0 reste au-dessus de cette barrière pour x>x0.
  Une configuration particulièrement intéressante est la suivante :
  • u est une barrière inférieure définie sur I.
  • v est une barrière supérieure définie sur I.
  • u(x)v(x) si x est dans I.
  Si f est une solution tel que u(x0)f(x0) v(x0), alors pour tout x plus grand que x0, u(x)f(x)v(x). On dit que la partie A={(x,y) de I×R; u(x)yv(x)} est un piège ou un entonnoir : toute solution qui y est y reste!
Ex : y'=y2(1-2xy), f(x,y)=y2(1-2xy). v(x)=1/X est une barrière inférieure, u(x)=1/2x est une barrière inférieure.


  Une autre configuration intéressante est la suivante :
  • u est une barrière inférieure définie sur I.
  • v est une barrière supérieure définie sur I.
  • v(x)u(x) si x est dans I.
Dans ce cas, la partie A={(x,y) de I×R; v(x)yu(x)} est appelé un anti-entonnoir. Une solution a tendance à sortir d'un anti-entonnoir. Toutefois, on démontre le théorème dit de l'anti-entonnoir. Il existe une solution, et une seule, qui reste toujours dans un anti-entonnoir où la borne supérieure de I est +oo.