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Bibm@th

Problème de Bâle

Que la série des inverses des nombres premiers, ou série harmonique, donnée par $$1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots$$ diverge a été observé pour la première fois par Nicolas Oresme au XIVè siècle. L'étude des séries fut poursuivie au XVIIè siècle, notamment par le mathématicien et prêtre italien Pietro Mengoli. Mengoli prouve par exemple que la série harmonique alternée $$1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\cdots$$ converge et a pour somme $\ln(2)$. Il calcule aussi, pour $r$ un entier strictement positif, la somme $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n(n+r)}$. Il échoue à calculer cette valeur pour $r=0$, et il pose explicitement le problème en 1644.

Ce problème gagna en notoriété lorsque le mathématicien bâlois Jakob Bernoulli rassembla les connaissances de son époque sur les séries dans son ouvrage Tractatus de Seriebus Infinitis (Traité des séries infinies) en 1689. On y trouve plusieurs résultats originaux et parfois subtils sur les séries classiques (géométrique, harmonique) ou autres. Bernoulli, lui-même incapable de déterminer la valeur de $\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^2}$, écrit

Si quelqu’un trouve et nous communique ce qui a jusqu’ici échappé à nos efforts, grande sera notre gratitude.

Ce n'est qu'en 1735 qu'Euler trouva la réponse, étonnante de simplicité et de beauté : $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$$ Ceci valut au jeune Euler (28 ans à l'époque) une grande notoriété. Signalons que, même pour les critères de l'époque, la démonstration de 1735 donnée par Euler n'est pas rigoureuse, et il faudra attendre 1742 pour qu'il comble les "trous" de sa démonstration.

Ce problème posé par un mathématicien vivant à Bâle (Jakob Bernoulli) fut donc résolu par un mathématicien né à Bâle!

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