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Problème de Bâle

  Que la série des inverses des nombres premiers, ou série harmonique, donnée par
diverge a été observé pour la première fois par Nicolas Oresme au XIVè siècle. L'étude des séries fut poursuivie au XVIIè siècle, notamment par le mathématicien et prêtre italien Pietro Mengoli. Mengoli prouve par exemple que la série harmonique alternée
a pour somme ln(2). Il calcule aussi, pour r un entier strictement positif, la somme . Il échoue à calculer cette valeur pour r=0, et il pose explicitement le problème en 1644.

  De brillants mathématiciens, dont les frères Jakob et Johann Bernoulli s'attaquèrent au problème, sans succès, et ce n'est qu'en 1735 qu'Euler trouva la réponse, étonnante de simplicité et de beauté :
Ceci valut au jeune Euler (28 ans à l'époque) une grande notoriété. Signalons que, même pour les critères de l'époque, la démonstration de 1735 donnée par Euler n'est pas rigoureuse, et il faudra attendre 1742 pour qu'Euler omble les "trous" de sa démonstration.

  Mais alors, pourquoi ce problème s'appelle-t-il communément problème de Bâle, et non problème de Mengoli? Sans doute parce que la ville natale d'Euler est Bâle.

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