Propriété et espace de Baire
Définition 1 : On dit qu'un espace
topologique X est un espace de Baire si toute intersection
dénombrable d'ouverts
denses dans X est une partie
dense. Par passage au complémentaire,
il est équivalent de dire qu'une réunion dénombrable de fermés
d'intérieur vide est un ensemble
d'intérieur vide. |








Définition 2 : On dit qu'une partie A d'un espace de Baire
X est un résiduel si A contient une intersection dénombrable d'ouverts
denses. On dit que A est un ensemble maigre, si son complémentaire
est un résiduel, ce qui signifie que A est contenu dans une réunion dénombrable
de fermés d'intérieur vide. |
Le théorème suivant (surtout le premier point) est FONDAMENTAL :
Théorème 1 (Baire)
|
Autrement dit, dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense.
Ce théorème est parfois aussi appelé théorème des catégories.
Il dit en effet que tout espace métrique complet n'est pas de première
catégorie.
Démonstration :Soit donc une suite d'ouverts partout denses. Pour prouver que l'intersection
est partout dense, il suffit de montrer que, si
est un ouvert non vide quelconque, il existe un point commun à
et à tous les
. Nous allons dans les deux cas construire par récurrence une suite
d'ensembles fermés
vérifiant
et
. Il nous suffira alors
de montrer que l'intersection des
est non vide pour avoir le résultat.
Dans le cas 1., nous allons choisir pour des boules fermées, centrées en un point
, et de rayon
strictement positif. La boule
étant construite, l'ouvert
est alors non vide et contient donc
un point
. Il contient par conséquent une boule centrée en ce point,
que l'on peut supposer fermée et de rayon
.
A partir du rang , tous les points
appartiennent à la boule
, et ont une distance mutuelle
. La suite
est donc une suite de Cauchy, et comme l'espace est complet,
elle converge vers un point
qui appartient à la boule
. Comme ceci est valable pour tout
, nous avons prouvé que l'intersection des
contient le point
et est donc non vide.
Pour le point 2., nous allons cette fois exiger que les soient des compacts d'intérieur non vide. L'ouvert
étant non vide, il est voisinage de l'un quelconque de ses
points
, et comme l'espace est localement
compact, il existe
un voisinage de
compact contenu dans
. On construit de même
à partir de
.
Or, une suite décroissante de compacts non vides a une intersection non
vide (c'est une conséquence de la propriété
de Borel-Lebesgue...), l'intersection des est non vide.
REMARQUES :
* En appliquant ce théorème, ou en dérivant
une démonstration très proche, on voit par exemple que tout
intervalle de R, tout fermé
de R, tout ouvert de R, sont des espaces de Baire (pour
la topologie habituelle!).
* Etre un espace de Baire est une propriété métrique!
Applications :
Le théorème de Baire est fondamental en analyse. Par exemple, en analyse fonctionnelle, il est à la base de la preuve des théorèmes de Banach-Steinhaus et de l'application ouverte. Il a aussi des conséquences très surprenantes. La suivante est due à Baire lui-même :
Théorème 2 : Soit ![]() ![]() ![]() ![]() |
Pour démontrer ce théorème, il est utile de posséder le résultat suivant :
Théorème 3 : Soit X un espace de Baire, et soit ![]() ![]() |



Démonstration : (du théorème 2)
Pour





L'ensemble














Plus étonnant,encore, on peut prouver à l'aide du théorème de Baire que les fonctions continues nulle part dérivables, cette ``plaie lamentable'' dont se plaignait Hermite, sont denses dans l'ensemble des fonctions continues.