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Propriété et espace de Baire


 

Définition 1 :   On dit qu'un espace topologique X est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans X est une partie dense. Par passage au complémentaire, il est équivalent de dire qu'une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide est un ensemble d'intérieur vide.

On appelle souvent $ G_\delta$ une intersection dénombrable d'ouverts, et $ F_\sigma$ une réunion dénombrable de fermés. Attention!!! Un $ G_\delta$ n'est pas en général un ouvert, et un $ F_\sigma$ n'est pas en général un fermé. Par exemple, dans $ \mathbb {R}$, l'intervalle semi-ouvert $ [0,1[$ est à la fois un $ G_\delta$ et un $ F_\sigma$.

Définition 2 :   On dit qu'une partie A d'un espace de Baire X est un résiduel si A contient une intersection dénombrable d'ouverts denses. On dit que A est un ensemble maigre, si son complémentaire est un résiduel, ce qui signifie que A est contenu dans une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide.

On dit aussi parfois qu'un sous-ensemble A de X est de première catégorie de Baire si c'est un ensemble maigre. Tous les autres sous-ensembles de X sont dits de deuxième catégorie de Baire.
Le théorème suivant (surtout le premier point) est FONDAMENTAL :

Théorème 1 (Baire)  
  1. Tout espace métrique complet est un espace de Baire.
  2. Tout espace topologique localement compact est un espace de Baire.

Autrement dit, dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense.

Ce théorème est parfois aussi appelé théorème des catégories. Il dit en effet que tout espace métrique complet n'est pas de première catégorie.
Démonstration :Soit donc $ (U_j)$ une suite d'ouverts partout denses. Pour prouver que l'intersection est partout dense, il suffit de montrer que, si $ V$ est un ouvert non vide quelconque, il existe un point commun à $ V$ et à tous les $ U_j$. Nous allons dans les deux cas construire par récurrence une suite d'ensembles fermés $ B_j$ vérifiant $ B_1\subset U_1\cap V$ et $ B_{j+1}\subset U_{j+1}\cap\stackrel{\circ}{B_j}$. Il nous suffira alors de montrer que l'intersection des $ B_j$ est non vide pour avoir le résultat.
Dans le cas 1., nous allons choisir pour $ B_j$ des boules fermées, centrées en un point $ x_j$, et de rayon $ \leq 1/j$ strictement positif. La boule $ B_j$ étant construite, l'ouvert $ U_{j+1}\cap\stackrel{\circ}{B_j}$ est alors non vide et contient donc un point $ x_{j+1}$. Il contient par conséquent une boule centrée en ce point, que l'on peut supposer fermée et de rayon $ \leq(1/j+1)$.


A partir du rang $ j_0$, tous les points $ x_j$ appartiennent à la boule $ B_{j_0}$, et ont une distance mutuelle $ \leq 2/j_0$. La suite $ (x_j)$ est donc une suite de Cauchy, et comme l'espace est complet, elle converge vers un point $ x$ qui appartient à la boule $ B_{j_0}$. Comme ceci est valable pour tout $ j_0$, nous avons prouvé que l'intersection des $ B_j$ contient le point $ x$ et est donc non vide.

Pour le point 2., nous allons cette fois exiger que les $ B_j$ soient des compacts d'intérieur non vide. L'ouvert $ U_1\cap V$ étant non vide, il est voisinage de l'un quelconque de ses points $ x$, et comme l'espace est localement compact, il existe $ B_1$ un voisinage de $ x$ compact contenu dans $ U_1\cap V$. On construit de même $ B_{j+1}$ à partir de $ \stackrel{\circ}{B_j}\cap U_{j+1}$.
Or, une suite décroissante de compacts non vides a une intersection non vide (c'est une conséquence de la propriété de Borel-Lebesgue...), l'intersection des $ B_j$ est non vide.$ \Box$

REMARQUES :

* En appliquant ce théorème, ou en dérivant une démonstration très proche, on voit par exemple que tout intervalle de R, tout fermé de R, tout ouvert de R, sont des espaces de Baire (pour la topologie habituelle!).
* Etre un espace de Baire est une propriété métrique!

Applications :

Le théorème de Baire est fondamental en analyse. Par exemple, en analyse fonctionnelle, il est à la base de la preuve des théorèmes de Banach-Steinhaus et de l'application ouverte. Il a aussi des conséquences très surprenantes. La suivante est due à Baire lui-même :

Théorème 2 :   Soit $ (f_j)$ une suite de fonctions continues sur $ [0,1]$, qui converge en chaque point vers une fonction $ f(x)$. Alors l'ensemble des points où $ f$ est continue est un résiduel.

Par exemple, ce théorème montre qu'une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense.
Pour démontrer ce théorème, il est utile de posséder le résultat suivant :

Théorème 3 :   Soit X un espace de Baire, et soit $ F_j$ une suite de fermés qui recouvre X. Alors la réunion des $ \stackrel{\circ}{F_j}$ est un ouvert partout dense.

Démonstration : (du théorème 3) Soit G le complémentaire de la réunion des $ \stackrel{\circ}{F_j}$. C'est un ensemble fermé, et il nous faut prouver qu'il est d'intérieur vide. Chacun des $ F_j\cap G$ étant un fermé d'intérieur vide, et leur réunion étant égale à G, cela résulte de fait que X est un espace de Baire.$ \Box$

Démonstration : (du théorème 2)
Pour $ \delta>0\textrm{ et }n\in\mathbb {n}$, considérons l'ensemble :

$\displaystyle F_{n,\delta}=\{x;\ \forall j\geq n,\ \vert f_j(x)-f(x)\vert\leq\delta\}.$

Pour $ \delta$ fixé, la réunion des ensembles fermés $ F_{n,\delta}$ est égale à tout l'espace. D'après le théorème précédent, il en résulte que $ U_\delta=\cup_n \stackrel{\circ}{F_{n,\delta}}$ est un ouvert partout dense.
L'ensemble $ R=\cap_k U_{1/k}$ est donc un résiduel, et il nous reste à montrer que f est continue en un point quelconque $ x_0\in R$. Le point $ x_0$ appartient à $ U_{\varepsilon/3}$, il existe donc un voisinage $ V_1$ de ce point, et un entier $ n$ tel que l'on ait $ V_1\subset F_{n,\varepsilon/3}$. D'autre part, la fonction $ f_n$ étant continue, il existe un voisinage $ V_2$ de $ x_0$ tel que l'on ait $ \vert f_n(x)-f_n(x_0)\vert\leq \varepsilon/3$ pour x dans ce voisinage. Pour tout $ x\in V_1\cap V_2$, on a donc :

$\displaystyle \vert f(x)-f(x_0)\vert\leq \vert f(x)-f_n(x)\vert+\vert f_n(x)-f_n(x_0)\vert+\vert f_n(x_0)-f(x_0)\vert\leq \varepsilon,$

ce qui complète la démonstration.$ \Box$
Plus étonnant,encore, on peut prouver à l'aide du théorème de Baire que les fonctions continues nulle part dérivables, cette ``plaie lamentable'' dont se plaignait Hermite, sont denses dans l'ensemble des fonctions continues.


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