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Automorphisme intérieur

Définition : Soit $G$ un groupe, et $a$ un élément de $G$. On appelle automorphisme intérieur associé à $a$ le morphisme de groupe $i_a(g)=aga^{-1}$.

Un automorphisme intérieur est un automorphisme(!), et l'ensemble des automorphismes intérieurs forme un sous-groupe distingué du groupe des automorphismes de $G.$

Le groupe $G$ opère sur lui-même par automorphisme intérieur, en posant $a\cdot g=aga^{-1}.$ L'orbite de $g$ sous l'action des automorphismes intérieurs, c'est-à-dire $\{aga^{-1}:\ a\in G\}$ s'appelle la classe de conjugaison de $g$. Si $g'=aga^{-1}$, on dit aussi que $g$ et $g'$ sont des éléments conjugués. On définit enfin le centralisateur de $g$ par $\{a\in G:\ aga^{-1}=g\}$. Le centralisateur de $g$ est donc l'ensemble des éléments qui commutent avec $g$.

La notion d'éléments conjugués est fondamentale : il faut retenir que deux éléments conjugués ont les mêmes propriétés. Par exemple :

  • deux matrices conjuguées (dans ce cas, la terminologie est plutôt deux matrices semblables) ont les mêmes valeurs propres.
  • une transformation conjuguée à une symétrie plane reste une symétrie plane.
  • une permutation conjuguée à un $p$-cycle reste un $p$-cycle.
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