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Automorphisme intérieur

Définition : Soit G un groupe, et a un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à a le morphisme de groupe ia(g)=aga-1.
  Un automorphisme intérieur est un automorphisme(!), et l'ensemble des automorphismes intérieurs forme un sous-groupe du groupe des automorphismes de G.

  Le groupe G opère sur lui-même par automorphisme intérieur, en posant a.g=aga-1. L'orbite de G sous l'action des automorphismes intérieurs, c'est-à-dire {aga-1; a parcourt G}, s'appelle classe de conjugaison. Si g'=aga-1, on dit aussi que g et g' sont des éléments conjugués. On définit enfin le centralisateur de g par {a de G; aga-1=g}.

  La notion d'éléments conjugués est fondamentale : il faut retenir que deux éléments conjugués ont les mêmes propriétés. Par exemple :
  • une transformation conjuguée à une symétrie plane reste une symétrie plane.
  • une permutation conjuguée à un p-cycle reste un p-cycle.
  • deux matrices conjuguées (on dit souvent semblables) ont les mêmes valeurs propres.