$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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p-liste - Arrangement

p-liste
Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle p-liste de E toute suite (x1,...,xp) où chaque xk est élément de E.
Théorème : Il y a np p-listes d'un ensemble à n éléments.

Ex :
  • (a,n,a,n,a,s) est une 6-liste de E={a,b,c,...,z}.
  • tirage avec remise : Une urne U contient n boules numérotés de 1 à n. On tire successivement p boules de U en remettant chaque fois dans l'urne la boule qu'on vient de tirer. On note (x1,...,xp) la suite des numéros obtenus. (x1,...,xp) est une p-liste. Le nombre de tirages possibles est donc np.

Arrangement
Définition : E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E toute p-liste d'éléments distincts de E.
On note le nombre d'arrangements de p éléments parmi n. On a :
Cette formule s'établit par un raisonnement élémentaire. Pour le premier élément qu'on choisit, on a n choix. Pour le deuxième élément, on a n-1 choix, etc...

Un arrangement de n éléments parmi n s'appelle une permutation de E. D'après la formule précédente, il y a n! permutations de E.

  On peut aussi interpréter $A_n^p$ comme le nombre d'injections d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments.

Ex :
  • tirage sans remise : Une urne U contient n boules numérotés de 1 à n. On tire successivement p boules de U sans les remettre dans l'urne, et on note (x1,...,xp) un résultat de cette expérience. (x1,...,xp) est un arrangement de p éléments parmi n. Il y a tirages différents possibles.
  • (a,n,a,n,a,s) n'est pas un arrangement de lettres de l'alphabet : il y a répétition.
  • Les anagrammes du mot sucre correspondent à toutes les permutations de E={s,u,c,r,e}. Il y a 5!=120 anagrammes du mot sucre.
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