$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Arithmétique modulaire - congruences

Il est commode en arithmétique de considérer les entiers modulo $m$. Deux entiers $a$ et $b$ sont dits congrus modulo $m$ lorsque $a-b$ est un multiple de $m$. On note $a=b\ \textrm{mod}\ m$, ou $a=b\ [m]$.

Les calculs usuels (addition, multiplication, puissance) peuvent être réalisés modulo $m$, exactement comme avec les entiers. Il suffit ensuite de réduire le résultat modulo $m$. On peut aussi remplacer tous les résultats intermédiaires par leur reste modulo $m$. Pour exemple, pour calculer $14\times(7+2)^{15}$ modulo $8$ on remarque que $$7+2=9=1\ [8].$$ On en déduit $$(7+2)^{15}=1^{15}=1\ [8],$$ et finalement $$14\times (7+2)^{15}=14=6\ [8].$$

L'utilisation des congruences est d'emploi plus courant qu'il n'y parait : s'il est 11H, dans 2H, il est 1H, car $11+2=13=1\ [12]$...